AndreyRyabichev
кружочек
в 2018–19 учебном году Кружочек проходит по вторникам с 15:00 до 16:30.
27 ноября 2018
Антон Порфирьев рассказал про числа Мерсенна. это просто \(2^n-1\). оказалось, что чётное число является совершенным (т.е. сумма его натуральных делителей в два раза больше его самого) тогда и только тогда, когда оно равно \(2^{n+1}(2^n-1)\).
мы доказали этот факт, и затем проверили что все чётные совершенные числа а) являются треугольными и б) являются суммами кубов последовательных нечётных чисел начиная с единицы.
20 ноября 2018
Даня Кириллов сделал обзорный доклад. мы доказали теорему Вильсона и китайскую теорему об остатках, а также вспомнили как малая теорема Ферма (и вроде ещё даже обобщающая её теорема Эйлера) выводится из теоремы Фробениуса.
13 ноября 2018
Митя Сутый рассказал несколько доказательств теоремы Сильвестра. она говорит, что найдётся прямая, содержащая ровно две отмеченные точки. первая идея — рассмотреть кратчайший перпендикуляр из отмеченной точки до отмеченной прямой. вторая идея — сделать проективное преобразование, чтобы несколько прямых стали параллельны, и найти прямые с минимальным углом к этим нескольким. в обоих случаях удаётся прийти к противоречию. третья идея — спроектировать конфигурацию на сферу и воспользоваться формулой Эйлера. фантастика!
6 ноября 2018
Антон Порфирьев рассказал про великую теорему Ферма. мы начали с того, что вспомнили классификацию пифагоровых троек. после этого была сформулирована \(abc\)-гипотеза, из которой теорема Ферма следует для степеней больше 5. случай 3 и 5 степени доказывается отдельно (мы не разбирались, как), зато случай 4 степени был полностью доказан (без использования \(abc\)-гипотезы). в конце Антон рассказал про гипотезу Била и как теорема Ферма следует из неё.
30 октября 2018
я рассказал доказательство того, что вероятность взаимной простоты двух случайных целых чисел равняется \(6/\pi^2\). при этом использовалась нездоровая эвристика в суммировании рядов (превращение бесконечного произведения обратных степеней простых в ряд дзета-функции), а также геометрический подход к суммированию обратных квадратов.
23 октября 2018
Антон Порфирьев рассказал про гипотезу Борсука. она заключается в том, что любое тело в \(n\)-мерном пространстве можно разбить на \(n+1\) часть меньшего диаметра. мы обсудили определение диаметра множества на плоскости, как его посчитать для разных многоугольников и что он не меняется при переходе к выпуклой оболочке. после этого Антон (почти) доказал гипотезу Борсука в размерностях 1 и 2.
16 октября 2018
Тимофей Приходько собирается рассказать про функцию Эйлера \(\varphi(n)\). будет дано её определение, мы разберёмся как вычислять функцию Эйлера и изучим некоторые её свойства. будет доказана теорема, связывающая \(\varphi(n)\) и остатки по модулю \(n\). если останется время, мы поговорим про функцию Мёбиуса и конечные поля.
для понимания доклада полезно (но необязательно) вспомнить арифметику остатков.
9 октября 2018
Андрей Овчинников закончит чтение миникурса «Введение в линейную алгебру». планируется доразобраться со свойствами определителя: как определитель меняется при прибавлении к строке матрицы другой строки или при умножении строки на число, и то же самое для столбцов. после этого, если останется время, мы проговорим про миноры и обсудим план доказательства формулы Крамера для решения системы линейных уравнений.
2 октября 2018
планируется третья лекция миникурса Андрея Овчинникова. будут даны определения минора и алгебраического дополнения. после этого мы вспомним определение определителя и обсудим некоторые его свойства, а именно: как определитель матрицы меняется при перестановках строк или столбцов, их сложении, умножении на число, транспонировании матрицы и пр.
25 сентября 2018
Андрей Овчинников продолжил свой миникурс «Введение в линейную алгебру». в начале были введены определители матриц третьего порядка и была доказана формула для решений совместной системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. затем мы вспомнили про подстановки, их композицию и их свойства. в конце дано определение определителя матриц порядка \(n\), которое мы разберём в следующий раз.
19 сентября 2018
в связи с временной отменой миникурса А.Овчинникова я рассказал про кольца, поля и их примеры, а именно \(\mathbb Z/(n)\) и \(\mathbb R[x]/(f)\) для неприводимого многочлена \(f\).
12 сентября 2018
Андрей Овчинников начал свой миникурс «Введение в линейную алгебру». на первом занятии был разобран метод Гаусса и определители матриц второго порядка. с помощь них была выведена формула для решений совместной системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.