Сравнение версий v 2029 b / Geometry
Добавлено:
ДЗ от 20.II.2026 — TBA
На подвернувшемся кстати часе мы доказали критерий вписанности четырёхугольника (об углах), рассмотрели классическую задачу «Найти ГМТ точек, из которых данный отрезок виден под данным углом», а ещё затронули технику работы с направленными углами, полезную в ряде задач углублённого уровня, где точки на окружностях лежат, но их порядок может быть различным.
ДЗ от 13.II.2026 на часть класса
Разобрали предыдущее дз, замолвили пару слов за степень точки относительно окружности и за радикальные оси. Как это работает, мы ещё увидим.
ДЗ от 06.II.2026 на часть класса.
Началась новая тема, традиционно называемая «окружности». Помимо уже известных элементов вроде центра, радиуса, диаметра, хорды, дуги окружности, добавилась градусная мера дуги (помимо линейной меры, то есть длины дуги), центральные углы и вписанные углы. Доказали основное свойство вписанных углов (вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается — имеется в виду, конечно же, градусная мера дуги) и ряд следствий: вписанные углы, опирающиеся на равные дуги или на одну и ту же дугу, равны; если вписанные углы опираются на две дуги, дополняющие друг друга до полной окружности, то такие углы составляют в сумме 180°. Отсюда же вытекло свойство вписанного четырёхугольника о сумме углов. Также мы доказали, что две хорды, стягивающие равные дуги, равны, причём, с известными оговорками (!), это свойство допускает обращение. Наконец, если две хорды окружности не пересекаются, то параллельность этих хорд равносильна равенству дуг, заключённых между этими хордами. Это далеко не все свойства, входящие в джентльменский набор; продолжение следует.
ДЗ от 30.I.2026 на часть класса.
Ещё немного подобия.
ДЗ от 23.I.2026 опять же выдавалось не всем.
Доели подобие, написали СР
Д/з от 16.I.2026 выдавалось избирательно и не всем — см. кондуит. Срок сдачи традиционный: 23.I.2026.
Мы начали теорему о пропорциональных отрезках и подобные треугольники. Пока доказали только признаки подобия, дальнейшие следствия из подобия ещё впереди.
Д/з от 26.XII.2025 не выдавалось.
Разобрали формулу Герона и её алгебраическое доказательство.
Д/з от 19.XII.2025,
📅: – 26.XII.2025
Вся неделя была посвящена разборам.
Д/з от 12.XII.2025,
📅: – 19.XII.2025
Разбирали всё и вся в преддверии полугодовой КР.
Д/з от 05.XI.2025 не выдавалось
Продолжили теорему Пифагора.
Д/з от 28.XI.2025,
📅: – 05.XII.2025
Начали теорему Пифагора.
Д/з от 21.XI.2025,
📅: – 28.XI.2025
Эта неделя посвящена отработке темы площадей, была самостоятельная работа.
Д/з от 14.XI.2025,
📅: – 21.XI.2025
Продолжаем площади. В хозяйстве есть базовые формулы для вычисления площади, метод применения вспомогательной площади, а также мы кое-где переставляли площади с места на место. В предыдущем домашнем задании вы уже видели, что одну и ту же площадь можно посчитать разными способами, и из этого извлечь, скажем, отношение каких-то отрезков или даже пропорцию каких-то длин или площадей. Нам это не раз и не два ещё пригодится, когда мы будем разбираться с подобием. И ещё имейте в виду, что в курсе алгебры пройдены квадратные корни и общий метод решения квадратных уравнений в действительных числах — теперь это всё наше. Поэтому не удивляйтесь, если какая-то геометрическая задача на разыскание упрётся в решение квадратного уравнения, да ещё с откидыванием отрицательного корня. Не пропустите следующую серию!
Интуитивно площадь фигуры можно мыслить себе как величину той части плоскости, которая занята фигурой. Существуют много разных обобщений понятия площади, в том числе не обязанные следовать всем трём названным аксиомам — мы ими сейчас заниматься не будем, а сосредоточимся на классическом определении. Под площадью часто понимается не отображение как таковое, а результат его применения к той или иной фигуре. И ещё бывает, что под площадью подразумевается не собственно площадь некоторой фигуры, а сама эта фигура — такое случается, например, когда к конструкции пристраивается какая-то вспомогательная фигура, от которой, по большому счёту, только площадь и нужна.
Отметим, что аксиома аддитивности обобщается на любое конечное число фигурок и часто применяется именно в таком виде. Площадь квадрата равна квадрату его стороны — для рациональной стороны мы доказали это непосредственно, для общего случая была задействована конструкция предельного перехода, то есть мы приблизили сторону квадрата рациональными числами с недостатком и с избытком, и показали, что площадь квадрата не может быть ни меньше, ни больше, чем квадрат стороны. В аудиторном задании были задачи на доказательство базовых формул площади:
Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называются равновеликими, и им тоже посвящались несколько задач. В частности, была задача (т.н. лемма о крыльях бабочки) о том, что если трапеция разделена обеими диагоналями на четыре треугольника, то треугольники, примыкающие к боковым сторонам, равновелики. Имелась задача о том, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, и её обобщение. Площадь нередко используется как вспомогательный инструмент для вычислений или доказательств, и в домашнем задании есть задачи, где площадь сильно упрощает жизнь, хотя в условии о площадях ни слова. Поэтому читайте, решайте, сдавайте, не забывайте про правила оформления и помните о том, чтő было сказано в понедельник.
На подвернувшемся кстати часе мы доказали критерий вписанности четырёхугольника (об углах), рассмотрели классическую задачу «Найти ГМТ точек, из которых данный отрезок виден под данным углом», а ещё затронули технику работы с направленными углами, полезную в ряде задач углублённого уровня, где точки на окружностях лежат, но их порядок может быть различным.
ДЗ от 13.II.2026 на часть класса
Разобрали предыдущее дз, замолвили пару слов за степень точки относительно окружности и за радикальные оси. Как это работает, мы ещё увидим.
ДЗ от 06.II.2026 на часть класса.
Началась новая тема, традиционно называемая «окружности». Помимо уже известных элементов вроде центра, радиуса, диаметра, хорды, дуги окружности, добавилась градусная мера дуги (помимо линейной меры, то есть длины дуги), центральные углы и вписанные углы. Доказали основное свойство вписанных углов (вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается — имеется в виду, конечно же, градусная мера дуги) и ряд следствий: вписанные углы, опирающиеся на равные дуги или на одну и ту же дугу, равны; если вписанные углы опираются на две дуги, дополняющие друг друга до полной окружности, то такие углы составляют в сумме 180°. Отсюда же вытекло свойство вписанного четырёхугольника о сумме углов. Также мы доказали, что две хорды, стягивающие равные дуги, равны, причём, с известными оговорками (!), это свойство допускает обращение. Наконец, если две хорды окружности не пересекаются, то параллельность этих хорд равносильна равенству дуг, заключённых между этими хордами. Это далеко не все свойства, входящие в джентльменский набор; продолжение следует.
ДЗ от 30.I.2026 на часть класса.
Ещё немного подобия.
ДЗ от 23.I.2026 опять же выдавалось не всем.
Доели подобие, написали СР
Д/з от 16.I.2026 выдавалось избирательно и не всем — см. кондуит. Срок сдачи традиционный: 23.I.2026.
Мы начали теорему о пропорциональных отрезках и подобные треугольники. Пока доказали только признаки подобия, дальнейшие следствия из подобия ещё впереди.
Д/з от 26.XII.2025 не выдавалось.
Разобрали формулу Герона и её алгебраическое доказательство.
Д/з от 19.XII.2025,
📅: – 26.XII.2025
Вся неделя была посвящена разборам.
Д/з от 12.XII.2025,
📅: – 19.XII.2025
Разбирали всё и вся в преддверии полугодовой КР.
Д/з от 05.XI.2025 не выдавалось
Продолжили теорему Пифагора.
Д/з от 28.XI.2025,
📅: – 05.XII.2025
Начали теорему Пифагора.
Д/з от 21.XI.2025,
📅: – 28.XI.2025
Эта неделя посвящена отработке темы площадей, была самостоятельная работа.
Д/з от 14.XI.2025,
📅: – 21.XI.2025
Продолжаем площади. В хозяйстве есть базовые формулы для вычисления площади, метод применения вспомогательной площади, а также мы кое-где переставляли площади с места на место. В предыдущем домашнем задании вы уже видели, что одну и ту же площадь можно посчитать разными способами, и из этого извлечь, скажем, отношение каких-то отрезков или даже пропорцию каких-то длин или площадей. Нам это не раз и не два ещё пригодится, когда мы будем разбираться с подобием. И ещё имейте в виду, что в курсе алгебры пройдены квадратные корни и общий метод решения квадратных уравнений в действительных числах — теперь это всё наше. Поэтому не удивляйтесь, если какая-то геометрическая задача на разыскание упрётся в решение квадратного уравнения, да ещё с откидыванием отрицательного корня. Не пропустите следующую серию!
Интуитивно площадь фигуры можно мыслить себе как величину той части плоскости, которая занята фигурой. Существуют много разных обобщений понятия площади, в том числе не обязанные следовать всем трём названным аксиомам — мы ими сейчас заниматься не будем, а сосредоточимся на классическом определении. Под площадью часто понимается не отображение как таковое, а результат его применения к той или иной фигуре. И ещё бывает, что под площадью подразумевается не собственно площадь некоторой фигуры, а сама эта фигура — такое случается, например, когда к конструкции пристраивается какая-то вспомогательная фигура, от которой, по большому счёту, только площадь и нужна.
Отметим, что аксиома аддитивности обобщается на любое конечное число фигурок и часто применяется именно в таком виде. Площадь квадрата равна квадрату его стороны — для рациональной стороны мы доказали это непосредственно, для общего случая была задействована конструкция предельного перехода, то есть мы приблизили сторону квадрата рациональными числами с недостатком и с избытком, и показали, что площадь квадрата не может быть ни меньше, ни больше, чем квадрат стороны. В аудиторном задании были задачи на доказательство базовых формул площади:
Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называются равновеликими, и им тоже посвящались несколько задач. В частности, была задача (т.н. лемма о крыльях бабочки) о том, что если трапеция разделена обеими диагоналями на четыре треугольника, то треугольники, примыкающие к боковым сторонам, равновелики. Имелась задача о том, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, и её обобщение. Площадь нередко используется как вспомогательный инструмент для вычислений или доказательств, и в домашнем задании есть задачи, где площадь сильно упрощает жизнь, хотя в условии о площадях ни слова. Поэтому читайте, решайте, сдавайте, не забывайте про правила оформления и помните о том, чтő было сказано в понедельник.
Удалено:
Существуют много разных обобщений этого понятия, в том числе не обязанные следовать всем трём названным аксиомам. Мы ими сейчас заниматься не будем, а сосредоточимся на классическом определении. Отметим, что аксиома аддитивности обобщается на любое конечное число фигурок и часто применяется именно в таком виде. Площадь квадрата равна квадрату его стороны — для рациональной стороны мы доказали это непосредственно, для общего случая была задействована конструкция предельного перехода, то есть мы приблизили сторону квадрата рациональными числами с недостатком и с избытком, и показали, что площадь квадрата не может быть ни меньше, ни больше, чем квадрат стороны. В аудиторном задании были задачи на доказательство базовых формул площади:
Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называются равновеликими, и им тоже посвящались несколько задач. В частности, была задача (т.н. лемма о крыльях бабочки) о том, что если трапеция разделена обеими диагоналями на четыре треугольника, то треугольники, примыкающие к боковым сторонам, равновелики. Имелась задача о том, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, и её обобщение. Площадь нередко используется как вспомогательный инструмент для вычислений или доказательств, и в домашнем задании есть задачи, где площадь сильно упрощает жизнь, хотя в условии о площадях ни слова. Поэтому читайте, решайте, сдавайте, не забывайте про правила оформления и помните о том, что было сказано в понедельник.
Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называются равновеликими, и им тоже посвящались несколько задач. В частности, была задача (т.н. лемма о крыльях бабочки) о том, что если трапеция разделена обеими диагоналями на четыре треугольника, то треугольники, примыкающие к боковым сторонам, равновелики. Имелась задача о том, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, и её обобщение. Площадь нередко используется как вспомогательный инструмент для вычислений или доказательств, и в домашнем задании есть задачи, где площадь сильно упрощает жизнь, хотя в условии о площадях ни слова. Поэтому читайте, решайте, сдавайте, не забывайте про правила оформления и помните о том, что было сказано в понедельник.