| 53 |
<ul><li><i>(неотрицательность)</i> Для любой фигуры Φ верно S(Φ)≥0.</li>;
|
58 |
1. //(неотрицательность)// Для любой фигуры Φ верно S(Φ)≥0.
|
| 54 |
<li><i>(аддитивность)</i> Если фигура Φ составлена из двух фигурок Φ₁ и Φ₂, то S(Φ)=S(Φ₁)+S(Φ₂).</li>
|
59 |
2. //(аддитивность)// Если фигура Φ составлена из двух фигурок Φ₁ и Φ₂, то S(Φ)=S(Φ₁)+S(Φ₂).
|
| 55 |
<li><i>(равенство для равных фигур)</i> Если фигуры Φ₁ и Φ₂ таковы, что Φ₁=Φ₂, то S(Φ₁)=S(Φ₂).</li>
|
60 |
3. //(равенство для равных фигур)// Если фигуры Φ₁ и Φ₂ таковы, что Φ₁=Φ₂, то S(Φ₁)=S(Φ₂).
|
| 56 |
<li><i>(нормированность)</i> Если Φ — квадрат 1Ч1, то S(Φ)=1.</li>
|
61 |
4. //(нормированность)// Если Φ — квадрат 1Ч1, то S(Φ)=1.
|
| 57 |
</ul>
|
62 |
|
| 58 |
|
63 |
Интуитивно площадь фигуры можно мыслить себе как величину той части плоскости, которая занята фигурой. Существуют много разных обобщений понятия площади, в том числе не обязанные следовать всем трём названным аксиомам — мы ими сейчас заниматься не будем, а сосредоточимся на классическом определении. Под площадью часто понимается не отображение как таковое, а результат его применения к той или иной фигуре. И ещё бывает, что под площадью подразумевается не собственно площадь некоторой фигуры, а сама эта фигура — такое случается, например, когда к конструкции пристраивается какая-то вспомогательная фигура, от которой, по большому счёту, только площадь и нужна.
|
| 59 |
Существуют много разных обобщений этого понятия, в том числе не обязанные следовать всем трём названным аксиомам. Мы ими сейчас заниматься не будем, а сосредоточимся на классическом определении. Отметим, что аксиома аддитивности обобщается на любое конечное число фигурок и часто применяется именно в таком виде. Площадь квадрата равна квадрату его стороны — для рациональной стороны мы доказали это непосредственно, для общего случая была задействована конструкция предельного перехода, то есть мы приблизили сторону квадрата рациональными числами с недостатком и с избытком, и показали, что площадь квадрата не может быть ни меньше, ни больше, чем квадрат стороны. В аудиторном задании были задачи на доказательство базовых формул площади:
|
64 |
|
| 60 |
|
65 |
Отметим, что аксиома аддитивности обобщается на любое конечное число фигурок и часто применяется именно в таком виде. Площадь квадрата равна квадрату его стороны — для рациональной стороны мы доказали это непосредственно, для общего случая была задействована конструкция предельного перехода, то есть мы приблизили сторону квадрата рациональными числами с недостатком и с избытком, и показали, что площадь квадрата не может быть ни меньше, ни больше, чем квадрат стороны. В аудиторном задании были задачи на доказательство базовых формул площади:
|
| 61 |
<ul><li> Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины.</li>;
|
66 |
|
| 62 |
<li> Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.</li>
|
67 |
* Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины.
|
| 63 |
<li> Площадь треугольника равна полупроизведению основания на высоту.</li>
|
68 |
* Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
|
| 64 |
<li> Площадь трапеции равна полупроизведению суммы оснований на высоту.</li>
|
69 |
* Площадь треугольника равна полупроизведению основания на высоту.
|
| 65 |
</ul>
|
70 |
* Площадь трапеции равна полупроизведению суммы оснований на высоту.
|
| 66 |
|
71 |
|
| 67 |
Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называются //равновеликими//, и им тоже посвящались несколько задач. В частности, была задача (т.н. лемма о крыльях бабочки) о том, что если трапеция разделена обеими диагоналями на четыре треугольника, то треугольники, примыкающие к боковым сторонам, равновелики. Имелась задача о том, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, и её обобщение. Площадь нередко используется как вспомогательный инструмент для вычислений или доказательств, и в домашнем задании есть задачи, где площадь сильно упрощает жизнь, хотя в условии о площадях ни слова. Поэтому читайте, решайте, сдавайте, не забывайте про правила оформления и помните о том, что было сказано в понедельник.
|
72 |
Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называются //равновеликими//, и им тоже посвящались несколько задач. В частности, была задача (т.н. лемма о крыльях бабочки) о том, что если трапеция разделена обеими диагоналями на четыре треугольника, то треугольники, примыкающие к боковым сторонам, равновелики. Имелась задача о том, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, и её обобщение. Площадь нередко используется как вспомогательный инструмент для вычислений или доказательств, и в домашнем задании есть задачи, где площадь сильно упрощает жизнь, хотя в условии о площадях ни слова. Поэтому читайте, решайте, сдавайте, не забывайте про правила оформления и помните о том, чтő было сказано в понедельник.
|