Сравнение версий v 2029 b / Geometry
| Merge of Version1 & Version2 | |
|---|---|
| 50 | | |
| 51 | Началась новая тема «Площади». Напомним, что //площадь// — это отображение S:{Φ}→ℝ из множества фигур в действительные числа, удовлетворяющее трём аксиомам: |
| 52 | |
| 53 | <ul> |
| 54 | <li>//(неотрицательность)// Для любой фигуры Φ верно S(Φ)≥0.</li>; |
| 55 | <li>//(аддитивность)// Если фигура Φ составлена из двух фигурок Φ₁ и Φ₂, то S(Φ)=S(Φ₁)+S(Φ₂).</li> |
| 56 | <li>//(равенство для равных фигур)// Если фигуры Φ₁ и Φ₂ таковы, что Φ₁=Φ₂, то S(Φ₁)=S(Φ₂).</li> |
| 57 | <li>//(нормированность)// Если Φ — квадрат 1×1, то S(Φ)=1.</li> |
| 58 | </ul> |
| 59 | |
| 60 | Существуют много разных обобщений этого понятия, в том числе не обязанные следовать всем трём названным аксиомам. Мы ими сейчас заниматься не будем, а сосредоточимся на классическом определении. Отметим, что аксиома аддитивности обобщается на любое конечное число фигурок и часто применяется именно в таком виде. Площадь квадрата равна квадрату его стороны — для рациональной стороны мы доказали это непосредственно, для общего случая была задействована конструкция предельного перехода, то есть мы приблизили сторону квадрата рациональными числами с недостатком и с избытком, и показали, что площадь квадрата не может быть ни меньше, ни больше, чем квадрат стороны. В аудиторном задании были задачи на доказательство базовых формул площади: |
| 61 | |
| 62 | <ul> |
| 63 | <li> Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины.</li>; |
| 64 | <li> Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.</li> |
| 65 | <li> Площадь треугольника равна полупроизведению основания на высоту.</li> |
| 66 | <li> Площадь трапеции равна полупроизведению суммы оснований на высоту.</li> |