| 40 |
|
((https://drive.google.com/file/d/18C91o-CBN1ApuxbgLiQSZQbm6n3lHKf7/view?usp=drive_link ДЗ от 15.01.2025)),---📅: --22.01.2025
|
| 41 |
|
((https://drive.google.com/file/d/188jA-Ym-_yBn3tYojeQGarVAoCm17KCG/view?usp=drive_link Д/з от 16.01.2025)),---📅: --17.01.2025
|
| |
49 |
((https://drive.google.com/file/d/1rSegeBrMTZ9mU09rJYmZCXvGnCAI0xTB/view?usp=drive_link Д/з от 07.XI.2025)),---📅: – 14.XI.2025
|
| |
50 |
|
|
| |
51 |
Началась новая тема «Площади». Напомним, что //площадь// — это отображение S:{Φ}→ℝ из множества фигур в действительные числа, удовлетворяющее трём аксиомам:
|
| |
52 |
|
| |
53 |
1. //(неотрицательность)// Для любой фигуры Φ верно S(Φ)≥0.
|
| |
54 |
2. //(аддитивность)// Если фигура Φ составлена из двух фигурок Φ₁ и Φ₂, то S(Φ)=S(Φ₁)+S(Φ₂).
|
| |
55 |
3. <li>//(равенство для равных фигур)// Если фигуры Φ₁ и Φ₂ таковы, что Φ₁=Φ₂, то S(Φ₁)=S(Φ₂).
|
| |
56 |
4. //(нормированность)// Если Φ — квадрат 1Ч1, то S(Φ)=1.
|
| |
57 |
|
| |
58 |
Существуют много разных обобщений этого понятия, в том числе не обязанные следовать всем трём названным аксиомам. Мы ими сейчас заниматься не будем, а сосредоточимся на классическом определении. Отметим, что аксиома аддитивности обобщается на любое конечное число фигурок и часто применяется именно в таком виде. Площадь квадрата равна квадрату его стороны — для рациональной стороны мы доказали это непосредственно, для общего случая была задействована конструкция предельного перехода, то есть мы приблизили сторону квадрата рациональными числами с недостатком и с избытком, и показали, что площадь квадрата не может быть ни меньше, ни больше, чем квадрат стороны. В аудиторном задании были задачи на доказательство базовых формул площади:
|
| |
59 |
|
| |
60 |
* Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины.
|
| |
61 |
* Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
|
| |
62 |
* Площадь треугольника равна полупроизведению основания на высоту.
|
| |
63 |
* Площадь трапеции равна полупроизведению суммы оснований на высоту.
|
| |
64 |
|
| |
65 |
Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называются //равновеликими//, и им тоже посвящались несколько задач. В частности, была задача (т.н. лемма о крыльях бабочки) о том, что если трапеция разделена обеими диагоналями на четыре треугольника, то треугольники, примыкающие к боковым сторонам, равновелики. Имелась задача о том, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, и её обобщение. Площадь нередко используется как вспомогательный инструмент для вычислений или доказательств, и в домашнем задании есть задачи, где площадь сильно упрощает жизнь, хотя в условии о площадях ни слова. Поэтому читайте, решайте, сдавайте, не забывайте про правила оформления и помните о том, что было сказано в понедельник.
|
| |
66 |
||
|
| |
67 |
||
|
| |
68 |
((https://drive.google.com/file/d/14Dl7o2b0BwjzMgTKvpk6F9D38pKvJ0-d/view?usp=drive_link Д/з от 10.X.2025)),---📅: – 17.X.2025
|
| |
69 |
|
|
| |
70 |
А мы продолжаем разбираться с четырёхугольниками и примкнувшей к ним параллельности. В хозяйстве появилось много разных дополнительных построений, связанных с трапецией — здесь разрезание тоже можно толковать как построение, поскольку линии разреза надо как-то построить. Ещё кое-что мы узнаем в разделе «подобие», а пока нас ждёт --четвертная контрольная работа-- тема «площади». Вы, надеюсь, помните, что мы взяли в кредит существование общей точки у прямой и окружности, если центр не слишком далеко от прямой. Так вот, проценты по этому кредиту мы выплатили в курсе алгебры, когда стали разбираться с существованием квадратного корня. Осталось выплатить собственно тело кредита, и мы это сделаем очень скоро.
|
| |
71 |
||
|
| |
72 |
||
|
| |
73 |
((https://drive.google.com/file/d/1TYApE4fmco9WLiGULOqm41MHULRiXc40/view?usp=drive_link Д/з от 03.X.2025)),---📅: – 10.X.2025
|
| |
74 |
|
|
| |
75 |
Мы продолжаем разбираться с четырёхугольниками. На этой неделе подъехали трапеции, у которых тоже есть свои свойства, признаки и замечательные точки/линии. С трапецией связан целый ряд интересных и по-своему полезных дополнительных построений — мы их, конечно же, одно за другим разберём.
|
| |
76 |
||
|
| |
77 |
||
|
| |
78 |
((https://drive.google.com/file/d/1FENhTzH2ZYQZnUcgxB3yygIc0LFYijci/view?usp=drive_link Д/з от 26.IX.2025)),---📅: – 03.X.2025 [надеюсь, окончательно]
|
| |
79 |
|
|
| |
80 |
Мы продолжаем разбираться с четырёхугольниками. У нас в арсенале уже есть много свойств и признаков параллелограмма, а также специфичные свойства и признаки таких важных частных случаев параллелограмма, как прямоугольник, ромб и квадрат. С ходу я могу назвать ещё как минимум три важных класса четырёхугольников, которые обязательно надо затронуть в курсе — это нас ждёт в самом недалёком будущем. А пока читайте, решайте, сдавайте, и потихоньку учите теорию, дабы не испытать проблем на зачёте/СРе/КРе/МЦКО независимо от того, насколько ВНЕЗАПНО сие нагрянет. И не забывайте, что задачи надо оформлять не тяп-ляп, а со всеми требующимися элементами от «Дано» и рисунка(ов) до «Ответ» (в задачах на вычисление) и **//всех нужных ссылок на теорию//**.
|
| |
81 |
||
|
| |
82 |
||
|
| |
83 |
((https://drive.google.com/file/d/1r6An2uGO8yAhoksNlgdzrZyV_2iJgOZh/view?usp=drive_link Д/з от 19.IX.2025)),---📅: – 26.IX.2025 [предварительно]
|
| |
84 |
|
|
| |
85 |
Мы продолжаем изучение разных важных видов четырёхугольников. В арсенале уже есть параллелограмм с целой пачкой свойств и признаков, теперь прибавились прямоугольник, ромб, квадрат со специфичными для них свойствами и признаками. Домашнее задание (см. в приложении; бумажную версию занесу в класс в понедельник) выдаётся для выполнения к пятнице (или когда там у нас самый поздний урок на следующей неделе-то?), так что ещё есть время спросить всё непонятное. По старой традиции, не во всех задачах нужен свежий материал, кое-где будет достаточно и чего-то более старого. Читайте, решайте, сдавайте, и не забывайте заносить новые знания в конспекты — пригодится перед СР, зачётом и прочими контрольными срезами знаний.
|
| |
86 |
||
|
| |
87 |
||
|
| |
88 |
((https://drive.google.com/file/d/1GMA6tEEQ7aLbZBULnR6adQYi1viCgy3_/view?usp=drive_link Д/з от 12.IX.2025)),---📅: – 17.IX.2025 [предварительно]
|
| |
89 |
|
|
| |
90 |
На минувшей неделе мы таки начали новую большую тему «четырёхугольники», а точнее, её подраздел «параллелограммы». На наше счастье, немалая часть уже была в том или ином виде в седьмом классе, и мы формализовали накопленные знания. Но есть и кое-что новенькое. Выдано домашнее задание, в котором первая задача отдаёт олимпиадным флёром и не требует строгого оформления, а все остальные — это классика школьного курса, которая пишется тоже по классике.
|
| |
91 |
||
|
| |
92 |
||
|
| |
93 |
((https://drive.google.com/file/d/1NRRFO__qBGkUHuoUvYmmfhQlHX5kAQGZ/view?usp=drive_link Д/з от 19.03.2025)),---📅: – 26.03.2025
|
| |
94 |
|
|
| |
95 |
Хорошая новость в том, что мы освоили весь теоретический материал, который был запланирован на этот учебный год.
|
| |
96 |
Теперь надо закреплять это решением задач, и -- ??(red)готовиться к зачёту??.
|
| |
97 |
Правила игры на зачёте -- наверху страницы.
|
| |
98 |
В продолжение сказанного -- обычное задание обычной домашней работа в обычные сроки.
|
| |
99 |
||
|
| |
100 |
||
|
| |
101 |
((https://drive.google.com/file/d/15BnqIIQ4VENT_ubfNFT0ogotBP_eMsXw/view?usp=drive_link Д/з от 12.03.2025)),---📅: – 19.03.2025
|
| |
102 |
|
|
| |
103 |
На паре была самостоятельная работа, которую мы, конечно же, ещё будем разбирать и анализировать. А на следующую неделю предлагается вот такое домашнее задание. Занятно, что одна из задач была создана из увиденного на сегодняшней СР — //__автор, не пались__//! В общем и целом готовьтесь к тому, что лобовое применение знаний может оказаться нереальным, но если достроить кое-что и/или разглядеть в хитросплетении линий нужную конфигурацию, то многое станет ясным. Задачи не упорядочена по сложности: вполне возможно, что кому-то первая задача покажется самой сложной, а последняя — самой лёгкой, и при этом кто-то сочтёт самой простой первую, а самой сложной — последнюю. Если задача долго не решается, нелишне её ненадолго отложить и заняться остальными. Короче, читайте, решайте и сдавайте.
|
| |
104 |
||
|
| |
105 |
||
|
| |
106 |
((https://drive.google.com/file/d/1pLbUzCnwuZ0MpW2PiOjPK2bhDgnzfsbe/view?usp=drive_link Д/з от 26.02.2025)),---📅: – 05.03.2025
|
| |
107 |
|
|
| |
108 |
На минувшей паре мы не разбирали новую теорию, а вместо этого оттачивали старую на решении задач. Отработка навыков тоже важна, причём не домашкой единой.
|
| |
109 |
||
|
| |
110 |
||
|
| |
111 |
((https://drive.google.com/file/d/1pSRvNJFb13XkK227GzJGg3YGC_1QGAS-/view?usp=drive_link Д/з от 12.02.2025)),---📅: – --26--27.02.2025
|
| |
112 |
|
|
| |
113 |
Доедаем медианы, средние линии и иже с ними. В домашнем задании понадобятся и они, и знания по построениям, и кое-где ещё подъедет алгебра. И не позорьтесь, применяя знания сверх седьмого класса или пытаясь выдать за решение пись, которую удалось добыть из интернета, нейросетей или какого-либо одноклассника. Все задачи легко и просто делаются собственноручно на основе пройденного материала. Если ещё и включить мозг, это пойдёт только на пользу.
|
| |
114 |
||
|
| |
115 |
||
|
| |
116 |
((https://drive.google.com/file/d/1QAEfPUun2QdqdkuRy8krmNGLZIwJ2rcR/view?usp=drive_link Д/з от 06.02.2025)),---📅: – 12.02.2025
|
| |
117 |
|
|
| |
118 |
На почти уже ушедшей неделе нам подвернулось счастье в виде одного дополнительного урока геометрии, поэтому мы успели и задачи порешать, и кое-что новое пройти. С прошлых недель уже было известно, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (__//инцентре//__ или __//центре вписанной окружности//__ треугольника), серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке (центре описанной окружности треугольника) — теперь подъехали ещё и медианы, которые тоже пересекаются в одной точке (эта точка называется __//центроид//__ или __//центр масс треугольника//__), да к тому же делятся ею в отношении 2:1 считая от вершины, каков бы ни был треугольник. Вы также легко можете доказать, что медианы треугольника соответственно содержат медианки треугольничка, образованного средними линиями. Кроме того, как мы обсудили на уроках, медиану можно продлить не на свою длину, а только на треть своей длины, и тоже получить хорошую красивую картинку, из которой, в частности, следует, что медианы треугольника сами являются сторонами некоторого другого треугольника, а если научиться делить отрезок на три равные части, то станет возможным и построить треугольник по трём его медианам. К вопросам, которые мы отложили, возврат ещё будет, а пока в приложении представлено домашнее задание. Поскольку времени не очень много, задачи простые, хотя без пары странных ответов и одного места, где реально надо думать, не обошлось.
|
| |
119 |
||
|
| |
120 |
||
|
| |
121 |
((https://drive.google.com/file/d/1qIvHbbPtq56vP9_vv9xRRPLkvZXfr7ti/view?usp=drive_link Д/з от 29.01.2025)),---📅: – 06.02.2025
|
| |
122 |
|
|
| |
123 |
На ушедшей неделе был рассмотрен ещё один важный объект, связанный с треугольником, а именно средняя линия. Напомним, что средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. В будущем появятся средние линии и других фигур с более сложными определениями — готовьтесь к тому, что надо будет не путаться. Мы доказали, что средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника (ясное дело, имеется в виду та сторона, середина которой не является концом взятой средней линии) и по длине равна половине этой стороны. Это основное свойство средней линии, и при его использовании достаточно написать что-то в духе
|
| |
124 |
%%(wacko wrapper=text wrapper_align=center) P и Q — середины соотв. AB и BC ⇒ PQ — средняя линия △ABC ⇒ PQ=AC/2 и PQ∥AC%%
|
| |
125 |
не прописывая «по свойству средней линии». Но назвать среднюю линию средней линией всё равно надо.
|
| |
126 |
|
| |
127 |
У треугольника насчитывется три средних линии. Если их все провести, то треугольник разрежется ими на четыре равных треугольничка, у каждого из которых углы будут соответственно равняться углам большого треугольника, а стороны соответственно вдвое меньше — здесь тоже не напутайте в соответствии.
|
| |
128 |
|
| |
129 |
Свойство быть параллельной стороне и равняться половине стороны может быть обращено: если отрезок, соединяющий точку на одной стороне треугольника с точкой на другой стороне, окажется параллелен третьей стороне и равен половине этой третьей стороны, то такой отрезок обязан быть средней линией, то есть концы его являтся серединами сторон. Ещё один вариант обращения: если отрезок, соединяющий середину одной стороны треугольника с какой-то точкой на другой стороне параллелен третьей стороне, то его конец на сторой стороне тоже является серединой стороны.
|
| |
130 |
|
| |
131 |
И ещё одно напоминание: следите за оформлением. «Дано», «Найти/Доказать/Построить», «Решение/Доказательство/Анализ/Построение/Исследование» — всё это должно быть. Пользуетесь признаком равенства треугольников — обязательно укажите, какой именно признак использован. Нужно равенство накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей — пропишите хотя бы по минимуму «∠ABC=∠BCD как н/л при AB∥CD и сек.BC». Это огэшные требования, единые на всю страну, и экзамене скидок матшкольникам не будет.
|
| |
132 |
||
|
| |
133 |
||
|
| |
134 |
((https://drive.google.com/file/d/1G_aprn_6reXZ5uGXN85TnMBMWgOFpp40/view?usp=drive_link Д/з от 22.01.2025)),---📅: – 29.01.2025
|
| |
135 |
|
|
| |
136 |
Продолжаем большое строительство светлого будущего циркулем и линейкой. На прошедшей паре нам покорилось построение параллельных прямых, восстановление центра у окружности, беглое знакомство со свойствами окружности и сколько-то задач на построение треугольника по трём данным (это данные в признаках СУС, УСУ, ССС, а ещё мы построили треугольник по стороне, углу при ней и сумме двух других сторон). На самом деле, задач на построение треугольника по тем или иным данным существует много, и часть из них мы разберём в классе, часть пойдёт на домашние задания, а что-то останется и на СР. Тема окружностей тоже бездонная, в ней нам есть что делать во всех классах от седьмого до одиннадцатого включительно.
|
| |
137 |
|
| |
138 |
В домашнем задании найдётся всё: и построение треугольника из таких-то запчастей, и доказательство, и бухучёт на плоскости. Если где-то подъедет материал из курса алгебры или матана — не пугайтесь, так и надо. Местами какие-то вещи прикрыты красивыми словами, чтобы было не так просто разбраться. А ещё кое-где имеются утверждения, которые вообще-то требуют доказательства, но в задачах их справедливость дана по условию, так что пользуйтесь на здоровье. Также не требуется расписывать все базовые построения, которые у нас были; достаточно указать, что за объект и по каким данным строится. Наконец, на тему некоторых рассуждений может возникнуть хороший вопрос, в анализе их нужно написать, в доказательстве или где — напишите их хотя бы в одном месте, а если они понадобятся в другом месте, дайте ссылку на уже написанное.
|
| |
139 |
||
|
| |
140 |
||
|
| |
141 |
((https://drive.google.com/file/d/18C91o-CBN1ApuxbgLiQSZQbm6n3lHKf7/view?usp=drive_link Д/з от 15.01.2025)),---📅: – 22.01.2025
|