| |
39 |
||
|
| |
40 |
((https://drive.google.com/file/d/1qIvHbbPtq56vP9_vv9xRRPLkvZXfr7ti/view?usp=drive_link Д/з от 29.01.2025)),---📅: – 06.02.2025
|
| |
41 |
|
|
| |
42 |
На ушедшей неделе был рассмотрен ещё один важный объект, связанный с треугольником, а именно средняя линия. Напомним, что средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. В будущем появятся средние линии и других фигур с более сложными определениями — готовьтесь к тому, что надо будет не путаться. Мы доказали, что средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника (ясное дело, имеется в виду та сторона, середина которой не является концом взятой средней линии) и по длине равна половине этой стороны. Это основное свойство средней линии, и при его использовании достаточно написать что-то в духе
|
| |
43 |
%%(wacko wrapper=text wrapper_align=center) P и Q — середины соотв. AB и BC ⇒ PQ — средняя линия △ABC ⇒ PQ=AC/2 и PQ∥AC%% не прописывая «по свойству средней линии». Но назвать среднюю линию срденей линией всё равно надо.
|
| |
44 |
|
| |
45 |
У треугольника насчитывется три средних линии. Если их все провести, то треугольник разрежется ими на четыре равных треугольничка, у каждого из которых углы будут соответственно равняться углам большого треугольника, а стороны соответственно вдвое меньше — здесь тоже не напутайте в соответствии.
|
| |
46 |
|
| |
47 |
Свойство быть параллельной стороне и равняться половине стороны может быть обращено: если отрезок, соединяющий точку на одной стороне треугольника с точкой на другой стороне, окажется параллелен третьей стороне и равен половине этой третьей стороны, то такой отрезок обязан быть средней линией, то есть концы его являтся серединами сторон. Ещё один вариант обращения: если отрезок, соединяющий середину одной стороны треугольника с какой-то точкой на другой стороне параллелен третьей стороне, то его конец на сторой стороне тоже является серединой стороны.
|
| |
48 |
||
|
| |
49 |
||
|
| |
50 |
((https://drive.google.com/file/d/1G_aprn_6reXZ5uGXN85TnMBMWgOFpp40/view?usp=drive_link Д/з от 22.01.2025)),---📅: – 29.01.2025
|
| |
51 |
|
|
| |
52 |
Продолжаем большое строительство светлого будущего циркулем и линейкой. На прошедшей паре нам покорилось построение параллельных прямых, восстановление центра у окружности, беглое знакомство со свойствами окружности и сколько-то задач на построение треугольника по трём данным (это данные в признаках СУС, УСУ, ССС, а ещё мы построили треугольник по стороне, углу при ней и сумме двух других сторон). На самом деле, задач на построение треугольника по тем или иным данным существует много, и часть из них мы разберём в классе, часть пойдёт на домашние задания, а что-то останется и на СР. Тема окружностей тоже бездонная, в ней нам есть что делать во всех классах от седьмого до одиннадцатого включительно.
|
| |
53 |
|
| |
54 |
В домашнем задании найдётся всё: и построение треугольника из таких-то запчастей, и доказательство, и бухучёт на плоскости. Если где-то подъедет материал из курса алгебры или матана — не пугайтесь, так и надо. Местами какие-то вещи прикрыты красивыми словами, чтобы было не так просто разбраться. А ещё кое-где имеются утверждения, которые вообще-то требуют доказательства, но в задачах их справедливость дана по условию, так что пользуйтесь на здоровье. Также не требуется расписывать все базовые построения, которые у нас были; достаточно указать, что за объект и по каким данным строится. Наконец, на тему некоторых рассуждений может возникнуть хороший вопрос, в анализе их нужно написать, в доказательстве или где — напишите их хотя бы в одном месте, а если они понадобятся в другом месте, дайте ссылку на уже написанное.
|
| |
55 |
||
|
| |
56 |
||
|
| |
57 |
((https://drive.google.com/file/d/18C91o-CBN1ApuxbgLiQSZQbm6n3lHKf7/view?usp=drive_link Д/з от 15.01.2025)),---📅: – 22.01.2025
|
| |
58 |
|
|
| |
59 |
Мы продолжаем важный и обширный раздел геометрии «Геометрические построения». На уходящей неделе было обсуждено откладывание угла, равного данному, и построение отрезка, равного данному, и здесь мы даже задели ту область задач на построение, где у инструментов не все привычные операции доступны. Также обсудили построение перпендикуляра к данной прямой, проходящего через данную точку, причём точка могла как лежать на данной прямой, так и не лежать. Построение биссектрисы угла, построение серединного перпендикуляра к отрезку, деление отрезка или угла на любое количество частей равное степени двойки — это всё теперь к нашим услугам. И ещё мы разобрались с тем, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность и от чего это зависит. Конечно, пришлось отложить до лучших времён вопрос существования хотя бы одной общей точки, если расстояние от прямой до центра окружности строго меньше радиуса; тем не менее, из существования одной такой точки успешно было выведено: вторая точка есть, а третьей уже не бывать. Осталось ещё разобрать взаимное расположение двух окружностей — и заживём как люди.
|
| |
60 |
|
| |
61 |
Задач на построение существует много. Есть и такие задачи, в которых была некоторая конструкция, потом её почти всю стёрли, и надо восстановить стёртое по тому немногому, что осталось. В классах постарше нас ждут и задачи, в которых что-то надо построить циркулем и линейкой на графике функции. В домашнем задании (оно в приложении) я тоже не удержался от одной задачи пусть и несложной, но на построение циркулем и линейкой — не путайте с дополнительными построениями, которые тоже кое-где могут пригодиться! Это задание к среде 22 января. Читайте, решайте, сдавайте, и если вдруг где-то случился какой-то форс-мажор, то не сидите на месте, а придумывайте способ справиться и выкручивайтесь из свалившихся напастей — ценный навык, между прочим.
|
| |
62 |
||
|
| |
63 |
||
|
| |
64 |
((https://drive.google.com/file/d/14bKKOFNlIWXhOjB8S9Oi1XH1E2htTJZ-/view?usp=drive_link ДЗ от 09.01.2025))
|
| |
65 |
|
|
| |
66 |
Когда-то давно мы рассматривали список аксиом, с которым имеет дело геометрия. И в этом списке присутствовали аксиомы существования:
|
| |
67 |
|
| |
68 |
* //На любом луче можно отложить от его начала отрезок заданной длины.//
|
| |
69 |
* //От любого луча в любую из двух полуплоскостей можно отложить угол заданной градусной меры.//
|
| |
70 |
|
| |
71 |
Заметим, что эти аксиомы ничего не говорят на тему того, как делать это откладывание. Кроме того, сама длина или градусная мера может быть задана так, что поди разбери каким макаром за неё хвататься. Правда жизни состоит в том, что, хотя и написано «можно отложить», эти аксиомы утверждают только существование откладываемых объектов, и не более того. О том, как именно, какими методами и инструментами делается такое откладывание, и вообще существует ли сам процесс, который можно взять и сделать руками -- аксиомы хранят молчание. Вот ровно о том, что мы можем, что не можем и что думаем, что можем, мы и будем говорить ближайшие несколько уроков.
|
| |
72 |
|
| |
73 |
Исторически первым набором геометрческих инструментов были циркуль и линейка. Этот набор мы и должны освоить в первую голову. Напомним, что
|
| |
74 |
|
| |
75 |
* //Если дана плоскость, линия, кусок плоскости или кусок линии, то мы можем отметить произвольную точку на этом объекте.//
|
| |
76 |
* //Если даны две линии, то мы можем отметить все их общие точки или удостовериться, что таких точек нет.//
|
| |
77 |
* //Если даны две различные точки A и B, то с помощью линейки можно провести прямую AB.//
|
| |
78 |
* //Если дана точка A и отрезок BC, то с помощью циркуля можно провести окружность с центром A и радиусом BC.//
|
| |
79 |
|
| |
80 |
Под построением некоторого объекта циркулем и линейкой понимается конечная последовательность таких шагов, которая приводит к появлению нужного объекта. Функционал инструментов не всегда совпадает с тем, что можно делать реальными циркулем и линейкой. Например, реальным циркулем невозможно провести окружность очень большого радиуса и крайне непросто проводить окружности очень маленького радиуса — математический циркуль этих недостатков лишён. Аналогично математической линейкой можно соединить две очень далёкие друг от друга точки, но на математической линейке нет и нельзя наносить никаких делений. Разумеется, существуют разные исправления, обобщения и дополнения, и в математике они рассматриваются, но до них мы доберёмся ещё очень нескоро.
|
| |
81 |
|
| |
82 |
**На занятиях по геометрии полезно иметь хотя бы простенькие циркуль и линейку**, тем более что в технологии, физике, астрономии, проектной деятельности и ещё много где частенько возникает необходимость сделать нормальный чертёж нормальными инструментами, причём дело происходит на лабораторной работе или ещё где-то, куда свой любимый компудахтер не притащишь.
|
| |
83 |
|
| |
84 |
Четыре допустимых шага геометрических построений, описанных выше, очень примитивны, и если всё записывать только ими, многие содержательные построения будут очень длинными. Урок за уроком мы будем на базе низкоуровневых шагов строить всё более и более продвинутые построения, которыми потом можно будет пользоваться без разложения на низкоуровневые элементы. Тем не менее, уметь разворачивать все алгоритмы до самых ассемблерных операций -- навык нужный. Если построение почему-либо не срабатывает, то придётся разбираться, где именно ошибка, и не исключено, что проблема кроется где-то на глубине среди самых атомарных действий.
|
| |
85 |
|
| |
86 |
Задача на геометрическое построение стандартно состоит из четырёх шагов:
|
| |
87 |
* //Анализ. Допустим, нужный объект построен — как за него хвататься?//
|
| |
88 |
* //Построение. Как выглядит последовательность действий, приводящая к появлению нужного объекта?//
|
| |
89 |
* //Доказательство. Почему предложенная последовательность даёт именно то, что требовалось, а не что-то иное?//
|
| |
90 |
* //Исследование. При любых ли входных данных искомый объект существует? А может быть, существует несколько таких объектов? Если да, то при каких входных данных сколько чего есть?//
|
| |
91 |
|
| |
92 |
В ряде случаев некоторые из этих шагов могут отсутствовать или состоять из одного слова «Очевидно». Мы ещё будем разбираться, где что нужно писать и как оно устроено.
|
| |
93 |
|
| |
94 |
На прошедшей паре мы мало что успели из построений как таковых, поэтому в домашнем задании нет задач на построение. Но вспомнить минувшее полугодие там придётся. Читайте, решайте, сдавайте, разживайтесь инструментами, и предоставьте выполненное задание //__к четвергу 16 января__//.
|
| |
95 |
||
|
| 136 |
|
Есть в геометрии такое важное понятие как расстояние. Заметим, что в быту мы меряем расстояние между далёкими точками по тем дорогам, по которым можно пройти, и довольно редко удаётся пройти по прямой. Даже самолёты не всегда летают по прямой между аэропортами, и порой они тоже пользуются какими-то фиксированными воздушными коридорами. Длина самого короткого пути — штука в хозяйстве нужная, её полезно поизучать. Ровно такое расстояние нам вычисляют, например, яндекс.карты, когда предлагают самый короткий путь. Это расстояние чем-то похоже на расстояние между точками на плоскости, а чем-то и отличается.
|
| 137 |
|
|
| 138 |
|
Мы говорили, что если три точки A, B, C лежат на одной прямой в указанном порядке, то AC=AB+BC. Для трёх городов тоже можно ввести понятие «лежать на одной прямой», только будем писать его в кавычках, поскольку о прямых речи не идёт. Скажем, что города A, B, C «лежат на одной прямой» в указанном порядке, если расстояние от A до C равно сумме расстояний от A до B и от B до C. Это не значит (поразмышляйте, почему), что самый короткий путь от A до C обязательно проходит через B: на дорожной сети может быть несколько самых коротких путей. Вот и поиграйте в домашнем задании с городами и дорогами. И не забывайте учить аксиоматику!
|
| |
193 |
Есть в геометрии такое важное понятие как !!(blue) расстояние!!. Заметим, что в быту мы меряем расстояние между далёкими точками по тем дорогам, по которым можно пройти, и довольно редко удаётся пройти по прямой. Даже самолёты не всегда летают по прямой между аэропортами, и порой они тоже пользуются какими-то фиксированными воздушными коридорами. Длина самого короткого пути — штука в хозяйстве нужная, её полезно поизучать. Ровно такое расстояние нам вычисляют, например, яндекс.карты, когда предлагают самый короткий путь. Это расстояние чем-то похоже на расстояние между точками на плоскости, а чем-то и отличается.
|
| |
194 |
|
| |
195 |
Мы говорили, что !!(blue) если три точки A, B, C лежат на одной прямой в указанном порядке, то AC=AB+BC!!. Для трёх городов тоже можно ввести понятие «лежать на одной прямой», только будем писать его в кавычках, поскольку о прямых речи не идёт. Скажем, что города A, B, C «лежат на одной прямой» в указанном порядке, если расстояние от A до C равно сумме расстояний от A до B и от B до C. Это не значит (поразмышляйте, почему), что самый короткий путь от A до C обязательно проходит через B: на дорожной сети может быть несколько самых коротких путей. Вот и поиграйте в домашнем задании с городами и дорогами. И не забывайте учить аксиоматику!
|