Школа179

Последнее в этом календарном году домашнее задание, а потому
интересных сложных задач нет. Кое-где понадобится посчитать уголки,
повспоминать градусные меры углов в квадрате и в равностороннем
треугольнике, посравнивать гипотенузы с катетами, ну и так далее.
Читайте, решайте, сдавайте и помните: если в треугольнике оказалось,
что для чего-то нужна высота, нелишне задаться вопросом, на сторону ли
упала высота, в вершину или на продолжение стороны.
Некоторые геометрические места мы уже посмотрели. Так, если дана
прямая m и число d>0, то геометрическое место точек, удалённых от m
на расстояние d — это пара паралелльных прямых. Далее, если дан
отрезок PQ, то геометрическое место точек, равноудалённых от концов
этого отрезка, — это прямая, проходящая через середину отрезка
перпендикулярно отрезку. Для неё есть название серединный
перпендикуляр (жарг. серпйр) к данному отрезку. Серединный
перпендикуляр к PQ замечателен ещё и тем, что геометрическое место
точек, которые ближе к P, чем к Q, — это открытая
полуплоскость по одну сторону от него, содержащая точку P. Слово
«открытая» означает, что граничную прямую надо выкинуть. Вот такие три
геометрических места.
%%(wacko wrapper=text wrapper_align=center)
**∠ABC+∠BAD=180° — одностор. при BC ∥ AD
и сек.AB** %%
%%(wacko wrapper=text wrapper_align=center)
**∠PRS=∠RST — накр.леж. при PR, ST и сек.RS
⇒ PR ∥ ST** %%
Есть в геометрии такое важное понятие как !!(blue) расстояние!!.
Заметим, что в быту мы меряем расстояние между далёкими точками по тем
дорогам, по которым можно пройти, и довольно редко удаётся пройти по
прямой. Даже самолёты не всегда летают по прямой между аэропортами, и
порой они тоже пользуются какими-то фиксированными воздушными
коридорами. Длина самого короткого пути — штука в хозяйстве нужная, её
полезно поизучать. Ровно такое расстояние нам вычисляют, например,
яндекс.карты, когда предлагают самый короткий путь. Это расстояние
чем-то похоже на расстояние между точками на плоскости, а чем-то и
отличается. 
Мы говорили, что !!(blue) если три точки A, B, C лежат на одной прямой
в указанном порядке, то AC=AB+BC!!. Для трёх городов тоже можно ввести
понятие «лежать на одной прямой», только будем писать его в кавычках,
поскольку о прямых речи не идёт. Скажем, что города A, B, C «лежат на
одной прямой» в указанном порядке, если расстояние от A до C равно
сумме расстояний от A до B и от B до C. Это не значит (поразмышляйте,
почему), что самый короткий путь от A до C обязательно проходит через
B: на дорожной сети может быть несколько самых коротких путей. Вот и
поиграйте в домашнем задании с городами и дорогами. И не забывайте
учить аксиоматику!