Д/з от 29.1.225,
📅: – 6.2.225
|
На ушедшей неделе был рассмотрен ещё один важный объект, связанный с треугольником, а именно средняя линия. Напомним, что средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. В будущем появятся средние линии и других фигур с более сложными определениями — готовьтесь к тому, что надо будет не путаться. Мы доказали, что средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника (ясное дело, имеется в виду та сторона, середина которой не является концом взятой средней линии) и по длине равна половине этой стороны. Это основное свойство средней линии, и при его использовании достаточно написать что-то в духе
P и Q — середины соотв. AB и BC ⇒ PQ — средняя линия △ABC ⇒ PQ=AC/2 и PQ∥AC
не прописывая «по свойству средней линии». Но назвать среднюю линию средней линией всё равно надо.
У треугольника насчитывется три средних линии. Если их все провести, то треугольник разрежется ими на четыре равных треугольничка, у каждого из которых углы будут соответственно равняться углам большого треугольника, а стороны соответственно вдвое меньше — здесь тоже не напутайте в соответствии.
Свойство быть параллельной стороне и равняться половине стороны может быть обращено: если отрезок, соединяющий точку на одной стороне треугольника с точкой на другой стороне, окажется параллелен третьей стороне и равен половине этой третьей стороны, то такой отрезок обязан быть средней линией, то есть концы его являтся серединами сторон. Ещё один вариант обращения: если отрезок, соединяющий середину одной стороны треугольника с какой-то точкой на другой стороне параллелен третьей стороне, то его конец на сторой стороне тоже является серединой стороны.
И ещё одно напоминание: следите за оформлением. «Дано», «Найти/Доказать/Построить», «Решение/Доказательство/Анализ/Построение/Исследование» — всё это должно быть. Пользуетесь признаком равенства треугольников — обязательно укажите, какой именно признак использован. Нужно равенство накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей — пропишите хотя бы по минимуму «∠ABC=∠BCD как н/л при AB∥CD и сек.BC». Это огэшные требования, единые на всю страну, и экзамене скидок матшкольникам не будет.
|
Д/з от 22.1.225,
📅: – 29.1.225
|
Продолжаем большое строительство светлого будущего циркулем и линейкой. На прошедшей паре нам покорилось построение параллельных прямых, восстановление центра у окружности, беглое знакомство со свойствами окружности и сколько-то задач на построение треугольника по трём данным (это данные в признаках СУС, УСУ, ССС, а ещё мы построили треугольник по стороне, углу при ней и сумме двух других сторон). На самом деле, задач на построение треугольника по тем или иным данным существует много, и часть из них мы разберём в классе, часть пойдёт на домашние задания, а что-то останется и на СР. Тема окружностей тоже бездонная, в ней нам есть что делать во всех классах от седьмого до одиннадцатого включительно.
В домашнем задании найдётся всё: и построение треугольника из таких-то запчастей, и доказательство, и бухучёт на плоскости. Если где-то подъедет материал из курса алгебры или матана — не пугайтесь, так и надо. Местами какие-то вещи прикрыты красивыми словами, чтобы было не так просто разбраться. А ещё кое-где имеются утверждения, которые вообще-то требуют доказательства, но в задачах их справедливость дана по условию, так что пользуйтесь на здоровье. Также не требуется расписывать все базовые построения, которые у нас были; достаточно указать, что за объект и по каким данным строится. Наконец, на тему некоторых рассуждений может возникнуть хороший вопрос, в анализе их нужно написать, в доказательстве или где — напишите их хотя бы в одном месте, а если они понадобятся в другом месте, дайте ссылку на уже написанное.
|
Д/з от 15.1.225,
📅: – 22.1.225
|
Мы продолжаем важный и обширный раздел геометрии «Геометрические построения». На уходящей неделе было обсуждено откладывание угла, равного данному, и построение отрезка, равного данному, и здесь мы даже задели ту область задач на построение, где у инструментов не все привычные операции доступны. Также обсудили построение перпендикуляра к данной прямой, проходящего через данную точку, причём точка могла как лежать на данной прямой, так и не лежать. Построение биссектрисы угла, построение серединного перпендикуляра к отрезку, деление отрезка или угла на любое количество частей равное степени двойки — это всё теперь к нашим услугам. И ещё мы разобрались с тем, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность и от чего это зависит. Конечно, пришлось отложить до лучших времён вопрос существования хотя бы одной общей точки, если расстояние от прямой до центра окружности строго меньше радиуса; тем не менее, из существования одной такой точки успешно было выведено: вторая точка есть, а третьей уже не бывать. Осталось ещё разобрать взаимное расположение двух окружностей — и заживём как люди.
Задач на построение существует много. Есть и такие задачи, в которых была некоторая конструкция, потом её почти всю стёрли, и надо восстановить стёртое по тому немногому, что осталось. В классах постарше нас ждут и задачи, в которых что-то надо построить циркулем и линейкой на графике функции. В домашнем задании (оно в приложении) я тоже не удержался от одной задачи пусть и несложной, но на построение циркулем и линейкой — не путайте с дополнительными построениями, которые тоже кое-где могут пригодиться! Это задание к среде 22 января. Читайте, решайте, сдавайте, и если вдруг где-то случился какой-то форс-мажор, то не сидите на месте, а придумывайте способ справиться и выкручивайтесь из свалившихся напастей — ценный навык, между прочим.
|
||
((https://drive.google.com/file/[...]/view?usp=drive_link ДЗ от Итак, мы начали с неопределяемых понятий и аксиом. Это те правила игры, по которым мы будем играть, по которым мы будем строить всю науку. Мы говорили, что точки обозначаются большими латинскими буквами, прямые — малыми латинскими буквами или парой точек, через которые данная прямая проходит, ну а для углов есть обозначения ∠ABC, ∠A (если в задаче участвует только один угол с вершиной в данной точке), ∠1, и ещё используются малые греческие буквы. Для отрезков, лучей нет устоявшегося обозначения, позволяющего отличить отрезок AB от луча AB или прямой AB, поэтому если точка C лежит на AB, надёжнее всего написать «C ∈ лучу AB» или «C ∈ прямой AB». Впрочем, если из контекста можно однозначно определить, какой объект понимается под AB, то хватит и записи «C ∈ AB»
Далее у нас были углы: вертикальные углы, смежные, прямые, острые, тупые, развёрнутые. От углов мы перешли к треугольникам, обсудили понятие равенства треугольников, рассмотрели аж целых три признака равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и прилежащим к ней углам, по трём сторонам. Между делом затронули равнобедренные треугольники и из свойства: углы при основании равны, а если провести к основанию медиану, биссектрису и высоту, то эти три отрезка совпадут. Перечисленные свойства могут быть обращены в признаки: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный с основанием понятно где; если в треугольнике из медианые, биссектрисы и высоты, проведённых в одной и той же стороне, какие-то два отрезка совпадают, то треугольник равнобедренный. Успели мы и обсудить перпендикуляры к прямой: почему опустить из точки A на прямую ℓ один перпендикуляр AD⊥ℓ можно, а два различных AD, AE⊥ℓ — нет; почему два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут пересечься. Ну и удвоение медианы — куда же без него.
Признаки равенства треугольников считаются довольно простой темой, но вместе с тем в домашних заданиях народ путается в них. Например, в первом признаке равенства берут две стороны и угол НЕ между ними, и получают не признак равенства, а другое утверждение. Или во втором признаке берут два угла, НЕ прилежащие к стороне — это тоже не заявленный признак равенства, а совсем иное утверждение. И совсем грустно, когда у двух треугольников берутся по одной стороне и по два угла, но в одном треугольнике углы прилежат к стороне, а в другом — нет. Во всех трёх примерах получаются не те утверждения, которые сформулированы в признаках, и будут ли они верны — надо разбираться и для верных утверждений давать отдельное доказательство. И не забывайте правила оформления: дано, найти/доказать, решение/доказательство. В следующей четверти нас ждёт ещё больше определений, свойств, теорем и иже с оными, так что на каникулах отдохните, наберитесь сил и выходите на занятия полностью готовыми!
May the Force be with you!
|
ДЗ от 17.1.224
|Мы
|
Мы прошли признак равенства треугольников по трём сторонам и разобрали ещё некоторые критерии равнобедренности треугольника. Так, неделю назад мы обсуждали, что в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, если оные проведены к основанию, совпадают. Сегодня было доказано обратное: если в треугольнике к одной и той же стороне проведены медиана, биссектриса и высота, причём среди трёх указанных отрезков какие-то два совпали, то треугольник равнобедренный с основанием понятно где. Здесь нам понадобился полезный приём: если BM — медиана треугольника ABC, то удвоением (в смысле «процессом удвоения») медианы называется построение такой точки D, что M — cередина BD. Отрезок BD также называется удвоением (в смысле «результатом удвоения») медианы BM.
В приложении — домашнее задание. Там все задачи пишутся по стандартной схеме: «Дано», «Доказать/найти», «Доказательство/решение». Впрочем, с первого взгляда может быть не очевидно, как в эту схему уложить задачи с вопросом «Верно ли...?» «Обязательно ли...?». Вместо «Доказать/найти» можно так и написать: «Верно ли...?» «Обязательно ли...?» — а далее написать «Ответ: верно, неверно, может, не может, обязательно, не обязательно (выбрать нужное). Решение:...». Ещё один способ, чуть более формальный, сухой и канцелярский — записать «Доказать или опровергнуть» и далее объявить «Доказательство/опровержение». Как бы там ни было, читайте, решайте, сдавайте — и пусть во всех задачах найдутся короткие, простые и понятные
решения.
|
((https://drive.google.com/file/[...]/view?usp=drive_link решения.
|
((https://drive.google.com/file/[...]/view?usp=drive_link ДЗ от 1.1.224))
|Мы потихоньку набираемся знаний, которые нужны для решения задач и прочей работы с геометрическим материалом. У нас в арсенале есть два признака равенства треугольников, а также ряд свойств равнобедренного треугольника: углы при основании равны, медиана к основанию совпадает с биссектрисой и высотой из той же вершины. (В некоторых книгах, кстати, можно встретить фразу «вершина равнобедренного треугольника», в которой имеется в виду не просто какая-то из вершин треугольника, а именно та, которая напротив основания. Если увидите такое, не пугайтесь.) Отметили мы и то обстоятельство, что свойство о равенстве углов можно обратить и получить признак: если у треугольника два угла равны, то он равнобедренный с понятно каким основанием.
В приложении — домашнее задание к среде 16.X.224. Там первая и последняя задача относятся к наглядной геометрии, в них нет строгого требования к оформлению. Зато три остальных задачи — это настоящие геометрические задачи для седьмого класса, и оформлять их нужно тоже как настоящие геометрические задачи, то есть с «Дано», «Доказать/найти» и «Решение». Напомним, что объектами из условия можно пользоваться прямо сразу, но если понадобится ввести какой-то новый объект и дать ему имя, обязательно пропишите в тексте имя и определение этого объекта: «Построим...», «Проведём...», «Положим...», «Пусть...» или что-то в том же духе. И не забывайте указывать, откуда какое утверждение следует. Читайте, решайте, дерзайте — и попробуйте везде найти простые решения, требующие самый минимум знаний.
|
ДЗ от 3.1.224
|
Мы на минувшей паре рассматривали ошибки в с/р, разбирались с аксиомами, первым признаком развенства и всем остальным из того немногого, что мы знаем. В приложении — домашнее задание. В нём есть две чистокровных геометрических задачи, которые нужно оформить по всем правилам оформления, и есть задачи более привычного вида, для которых можно не заморачиваться с оформлением. Читайте, решайте, сдавайте, и успейте всё до среды девятого октября
|
ДЗ от 19.9.224
|Мы
|
Мы на минувшей паре занимались разными задачами, больше относящимися к дискретной геометрии, а именно к клетчатой плоскости и клетчатому пространству. Нам удалось разрезать на трёхклеточные уголки все клетчатые прямоугольники, которые такое разрезание вообще допускают, и аналогично разрезать на трёхкубиковые уголки все разрезабельные клетчатые параллелепипеды. Затронули мы и развёртки кубиков, и выстраивание чего-то из кубиков, и даже паре слов про замощения плоскости нашлось местечко.
Есть в геометрии такое важное понятие как
расстояние. Заметим, что в быту мы меряем расстояние между далёкими точками по тем дорогам, по которым можно пройти, и довольно редко удаётся пройти по прямой. Даже самолёты не всегда летают по прямой между аэропортами, и порой они тоже пользуются какими-то фиксированными воздушными коридорами. Длина самого короткого пути — штука в хозяйстве нужная, её полезно поизучать. Ровно такое расстояние нам вычисляют, например, яндекс.карты, когда предлагают самый короткий путь. Это расстояние чем-то похоже на расстояние между точками на плоскости, а чем-то и отличается.
Мы говорили, что
!!(blue) если три точки A, B, C лежат на одной прямой в указанном порядке, то AC=AB+BC!!. Для трёх городов тоже можно ввести понятие «лежать на одной прямой», только будем писать его в кавычках, поскольку о прямых речи не идёт. Скажем, что города A, B, C «лежат на одной прямой» в указанном порядке, если расстояние от A до C равно сумме расстояний от A до B и от B до C. Это не значит (поразмышляйте, почему), что самый короткий путь от A до C обязательно проходит через B: на дорожной сети может быть несколько самых коротких путей. Вот и поиграйте в домашнем задании с городами и дорогами. И не забывайте учить
аксиоматику!|| аксиоматику!
||
ДЗ от 4.9.224
|
На минувшей неделе мы вспоминали из прожитых лет, какие у нас есть знания об объектах, с которых начинается геометрия. Для первой недели сентября этого <!markup:1:begin>достаточно. |
<!
markup:1:end>
достаточно.
||