((https://drive.google.com/file/[...]/view?usp=drive_link<!markup:1:end>
((https://drive.google.com/file/[...]/view?usp=drive_link ДЗ от <!markup:1:begin>14.11.224)) |
<!markup:1:end> <!markup:2:begin>9.1.225))
|
Когда-то давно мы рассматривали список аксиом, с которым имеет дело геометрия. И в этом списке присутствовали аксиомы существования:
- На любом луче можно отложить от его начала отрезок заданной длины.
- От любого луча в любую из двух полуплоскостей можно отложить угол заданной градусной меры.
Заметим, что эти аксиомы ничего не говорят на тему того, как делать это откладывание. Кроме того, сама длина или градусная мера может быть задана так, что поди разбери каким макаром за неё хвататься. Правда жизни состоит в том, что, хотя и написано «можно отложить», эти аксиомы утверждают только существование откладываемых объектов, и не более того. О том, как именно, какими методами и инструментами делается такое откладывание, и вообще существует ли сам процесс, который можно взять и сделать руками — аксиомы хранят молчание. Вот ровно о том, что мы можем, что не можем и что думаем, что можем, мы и будем говорить ближайшие несколько уроков.
Исторически первым набором геометрческих инструментов были циркуль и линейка. Этот набор мы и должны освоить в первую голову. Напомним, что
- Если дана плоскость, линия, кусок плоскости или кусок линии, то мы можем отметить произвольную точку на этом объекте.
- Если даны две линии, то мы можем отметить все их общие точки или удостовериться, что таких точек нет.
- Если даны две различные точки A и B, то с помощью линейки можно провести прямую AB.
- Если дана точка A и отрезок BC, то с помощью циркуля можно провести окружность с центром A и радиусом BC.
Под построением некоторого объекта циркулем и линейкой понимается конечная последовательность таких шагов, которая приводит к появлению нужного объекта. Функционал инструментов не всегда совпадает с тем, что можно делать реальными циркулем и линейкой. Например, реальным циркулем невозможно провести окружность очень большого радиуса и крайне непросто проводить окружности очень маленького радиуса — математический циркуль этих недостатков лишён. Аналогично математической линейкой можно соединить две очень далёкие друг от друга точки, но на математической линейке нет и нельзя наносить никаких делений. Разумеется, существуют разные исправления, обобщения и дополнения, и в математике они рассматриваются, но до них мы доберёмся ещё очень нескоро.
На занятиях по геометрии полезно иметь хотя бы простенькие циркуль и линейку, тем более что в технологии, физике, астрономии, проектной деятельности и ещё много где частенько возникает необходимость сделать нормальный чертёж нормальными инструментами, причём дело происходит на лабораторной работе или ещё где-то, куда свой любимый компудахтер не притащишь.
Четыре допустимых шага геометрических построений, описанных выше, очень примитивны, и если всё записывать только ими, многие содержательные построения будут очень длинными. Урок за уроком мы будем на базе низкоуровневых шагов строить всё более и более продвинутые построения, которыми потом можно будет пользоваться без разложения на низкоуровневые элементы. Тем не менее, уметь разворачивать все алгоритмы до самых ассемблерных операций — навык нужный. Если построение почему-либо не срабатывает, то придётся разбираться, где именно ошибка, и не исключено, что проблема кроется где-то на глубине среди самых атомарных действий.
Задача на геометрическое построение стандартно состоит из четырёх шагов:
- Анализ. Допустим, нужный объект построен — как за него хвататься?
- Построение. Как выглядит последовательность действий, приводящая к появлению нужного объекта?
- Доказательство. Почему предложенная последовательность даёт именно то, что требовалось, а не что-то иное?
- Исследование. При любых ли входных данных искомый объект существует? А может быть, существует несколько таких объектов? Если да, то при каких входных данных сколько чего есть?
В ряде случаев некоторые из этих шагов могут отсутствовать или состоять из одного слова «Очевидно». Мы ещё будем разбираться, где что нужно писать и как оно устроено.
На прошедшей паре мы мало что успели из построений как таковых, поэтому в домашнем задании нет задач на построение. Но вспомнить минувшее полугодие там придётся. Читайте, решайте, сдавайте, разживайтесь инструментами, и предоставьте выполненное задание к четвергу 16 января.<!markup:2:end>
|
| ДЗ от 17.1.224 |
<!markup:1:end> <!markup:2:begin>12.12.224))
|
На почти уже ушедшей неделе был решён целый ряд вопросов. Во-первых, мы разбирались с медианой прямоугольного треугольника, проведённый к гипотенузе: доказали её важное свойство быть равной половине гипотенузы, а ещё показали, что это свойство может быть обращено в признак прямоугольного треугольника, то есть если медиана к какой-то стороне треугольника равна половине этой самой стороны, то треугольник обязан быть прямоугольным, причём та самая медиана исходит из прямого угла.
Во-вторых, мы затронули понятие расстояния, но не между точками, а между целыми геометрическими фигурами. Существует много разных способов определить это расстояние, самый простой — это взять по точке из каждой фигуры, посчитать расстояние между взятыми точками, и среди всех расстояний, посчитанных для всевозможных таких пар точек, найти самое маленькое. Если каждая фигура — это просто точка, то не получается ничего нового. Если одна фигура — это точка, а другая — прямая, то получается расстояние от точки до прямой, равное, как мы показали, длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Если же взять две параллельные прямые, то расстояние между ними — это перпендикуляр, опущенный на одну прямую из какой-нибудь точки на другой прямой, и мы показали, что такое определение не зависит от того, какую точку на какой прямой взять.
В-третьих, было рассмотрено важное понятие геометрического места точек (как часто пишут, ГМТ), обладающего таким-то свойством. Это попросту множество точек таких. что каждая точка этого множества обладает нужным свойством, а каждая точка не из этого множества не обладает. Например, для двух заданных точек A и B геометрическое место таких C, что AC+BC=AB — это попросту отрезок AB. Геометрические места нам ещё будут встречаться снова и снова, существует целая прорва задач (сюда входят как самостоятельные задачи, так и подзадачи в более крупных проектах) на их поиск.
Некоторые геометрические места мы уже посмотрели. Так, если дана прямая m и число d>, то геометрическое место точек, удалённых от m на расстояние d — это пара паралелльных прямых. Далее, если дан отрезок PQ, то геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка, — это прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно отрезку. Для неё есть название серединный перпендикуляр (жарг. серпйр) к данному отрезку. Серединный перпендикуляр к PQ замечателен ещё и тем, что геометрическое место точек, которые ближе к P, чем к Q, — это открытая полуплоскость по одну сторону от него, содержащая точку P. Слово «открытая» означает, что граничную прямую надо выкинуть. Вот такие три геометрических места.
В приложении — домашнее задание к грядущему четвергу. Оно сослужит добрую службу при подготовке к полугодовой контрольной, поскольку в нём пригодятся и старые знания, и свежепройденные. Читайте, решайте, сдавайте — и до скорого!
|
<!Итак, мы начали с неопределяемых понятий и аксиом. Это те правила игры, по которым мы будем играть, по которым мы будем строить всю науку. Мы говорили, что точки обозначаются большими латинскими буквами, прямые — малыми латинскими буквами или парой точек, через которые данная прямая проходит, ну а для углов есть обозначения ∠ABC, ∠A (если в задаче участвует только один угол с вершиной в данной точке), ∠1, и ещё используются малые греческие буквы. Для отрезков, лучей нет устоявшегося обозначения, позволяющего отличить отрезок AB от луча AB или прямой AB, поэтому если точка C лежит на AB, надёжнее всего написать «C ∈ лучу AB» или «C ∈ прямой AB». Впрочем, если из контекста можно однозначно определить, какой объект понимается под AB, то хватит и записи «C ∈ AB»
Далее у нас были углы: вертикальные углы, смежные, прямые, острые, тупые, развёрнутые. От углов мы перешли к
хронологически первому треугольникам, обсудили понятие равенства треугольников, рассмотрели аж целых три признака равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и прилежащим к ней углам, по трём сторонам. Между делом затронули равнобедренные треугольники и из свойства: углы при основании равны, а если провести к основанию медиану, биссектрису и высоту, то эти три отрезка совпадут. Перечисленные свойства могут быть обращены в признаки: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный с основанием понятно где; если в треугольнике из медианые, биссектрисы и высоты, проведённых в одной и той же стороне, какие-то два отрезка совпадают, то треугольник равнобедренный. Успели мы и обсудить перпендикуляры к прямой: почему опустить из точки A на
прямую ℓ один перпендикуляр AD⊥ℓ можно, а два различных AD, AE⊥ℓ — нет; почему два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут пересечься. Ну и удвоение медианы — куда же без него.
Признаки равенства треугольников считаются довольно простой темой, но вместе с тем в домашних заданиях народ путается в них. Например, в первом признаке равенства берут две стороны и угол НЕ между ними, и получают не признак равенства, а другое утверждение. Или во втором признаке берут два угла, НЕ прилежащие к стороне — это тоже не заявленный признак равенства, а совсем иное утверждение. И совсем грустно, когда у двух треугольников берутся по одной стороне и по два угла, но в одном треугольнике углы прилежат к стороне, а в другом — нет. Во всех трёх примерах получаются не те утверждения, которые сформулированы в признаках, и будут ли они верны — надо разбираться и для верных утверждений давать отдельное доказательство. И не забывайте правила оформления: дано, найти/доказать, решение/доказательство. В следующей четверти нас ждёт ещё больше определений, свойств, теорем и иже с оными, так что на каникулах отдохните, наберитесь сил и выходите на занятия полностью готовыми!
May the Force be with you!
|
ДЗ от 17.1.224
|
Мы прошли признак равенства треугольников по трём сторонам и разобрали ещё некоторые критерии равнобедренности треугольника. Так, неделю назад мы обсуждали, что в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, если оные проведены к основанию, совпадают. Сегодня было доказано обратное: если в треугольнике к одной и той же стороне проведены медиана, биссектриса и высота, причём среди трёх указанных отрезков какие-то два совпали, то треугольник равнобедренный с основанием понятно где. Здесь нам понадобился полезный приём: если BM — медиана треугольника ABC, то удвоением (в смысле «процессом удвоения») медианы называется построение такой точки D, что M — cередина BD. Отрезок BD также называется удвоением (в смысле «результатом удвоения») медианы BM.
В приложении — домашнее задание. Там все задачи пишутся по стандартной схеме: «Дано», «Доказать/найти», «Доказательство/решение». Впрочем, с первого взгляда может быть не очевидно, как в эту схему уложить задачи с вопросом «Верно ли...?» «Обязательно ли...?». Вместо «Доказать/найти» можно так и написать: «Верно ли...?» «Обязательно ли...?» — а далее написать «Ответ: верно, неверно, может, не может, обязательно, не обязательно (выбрать нужное). Решение:...». Ещё один способ, чуть более формальный, сухой и канцелярский — записать «Доказать или опровергнуть» и далее объявить «Доказательство/опровержение». Как бы там ни было, читайте, решайте, сдавайте — и пусть во всех задачах найдутся короткие, простые и понятные решения.
|
ДЗ от 1.1.224
|Мы потихоньку набираемся знаний, которые нужны для решения задач и прочей работы с геометрическим материалом. У нас в арсенале есть два признака равенства треугольников, а также ряд свойств равнобедренного треугольника: углы при основании равны, медиана к основанию совпадает с биссектрисой и
высотой из той же вершины. (В некоторых книгах, кстати, можно встретить фразу «вершина равнобедренного треугольника», в
журнале. которой имеется в виду не просто какая-то из вершин треугольника, а именно та, которая напротив основания. Если
бумажная версия потеряется, увидите такое, не пугайтесь.) Отметили мы и то обстоятельство, что свойство о равенстве углов можно обратить и получить признак: если у треугольника два угла равны, то он равнобедренный с понятно каким основанием.
В приложении — домашнее задание к среде 16.X.224. Там первая и последняя задача относятся к наглядной геометрии, в
бумажном виде, а них нет строгого требования к оформлению. Зато три остальных задачи — это настоящие геометрические задачи для седьмого класса, и оформлять их нужно тоже как настоящие геометрические задачи, то есть с «Дано», «Доказать/найти» и «Решение». Напомним, что объектами из условия можно
отправить сканы/фотографии корпоративной электронной почтой. Предварительно, пользоваться прямо сразу, но если понадобится ввести какой-то новый объект и дать ему имя, обязательно пропишите в тексте имя и определение этого объекта: «Построим...», «Проведём...», «Положим...», «Пусть...» или что-то в том же духе. И не забывайте указывать, откуда какое утверждение следует. Читайте, решайте, дерзайте — и попробуйте везде найти простые решения, требующие самый минимум знаний.
|
ДЗ от 3.1.224
|
Мы на
тройку нужно решить минувшей паре рассматривали ошибки в с/р, разбирались с аксиомами, первым признаком развенства и всем остальным из того немногого, что мы знаем. В приложении — домашнее задание. В нём есть две чистокровных геометрических задачи, которые нужно оформить по всем правилам оформления, и есть задачи более привычного вида, для которых можно не заморачиваться с оформлением. Читайте, решайте, сдавайте, и успейте всё до среды девятого октября
|
ДЗ от 19.9.224
|
Мы на
четвёрку — три, минувшей паре занимались разными задачами, больше относящимися к дискретной геометрии, а именно к клетчатой плоскости и клетчатому пространству. Нам удалось разрезать на трёхклеточные уголки все клетчатые прямоугольники, которые такое разрезание вообще допускают, и аналогично разрезать на трёхкубиковые уголки все разрезабельные клетчатые параллелепипеды. Затронули мы и развёртки кубиков, и выстраивание чего-то из кубиков, и даже паре слов про замощения плоскости нашлось местечко.
Есть в геометрии такое важное понятие как
расстояние. Заметим, что в быту мы меряем расстояние между далёкими точками по тем дорогам, по которым можно пройти, и довольно редко удаётся пройти по прямой. Даже самолёты не всегда летают по прямой между аэропортами, и порой они тоже пользуются какими-то фиксированными воздушными коридорами. Длина самого короткого пути — штука в хозяйстве нужная, её полезно поизучать. Ровно такое расстояние нам вычисляют, например, яндекс.карты, когда предлагают самый короткий путь. Это расстояние чем-то похоже на
тот случай, расстояние между точками на плоскости, а чем-то и отличается.
Мы говорили, что !!(blue) если
три точки A, B, C лежат на одной прямой в указанном порядке, то AC=AB+BC!!. Для трёх городов тоже можно ввести понятие «лежать на одной прямой», только будем писать его в кавычках, поскольку о прямых речи не
следует надеяться проползти идёт. Скажем, что города A, B, C «лежат на одной прямой» в указанном порядке, если расстояние от A до C равно сумме расстояний от A до B и от B до C. Это не значит (поразмышляйте, почему), что самый короткий путь от A до C обязательно проходит через B: на дорожной сети может быть несколько самых коротких путей. Вот и поиграйте в домашнем задании с городами и дорогами. И не забывайте учить аксиоматику!
|
ДЗ от 4.9.224
|
На минувшей неделе мы вспоминали из прожитых лет, какие у нас есть знания об объектах, с которых начинается геометрия. Для первой недели сентября этого достаточно.
||