Школа179

Просмотр кода страницы кружочек страница

это материалы по кружочку, который проходит по средам с 14:55 до 16:35.

====== 31 января 2018 ======
мы попробуем доказать, что пара ломаных, удовлетворяющая КОП-критерию, имеет чётное число точек пересечения. это предполагается делать по пунктам (попробуйте дома):
а) для двух треугольников (разобрали 24 января);
б) для треугольника и четырёхзвенной ломаной;
в) для треугольника и \(n\)-звенной ломаной;
г) для \(m\)-звенной и \(n\)-звенной ломаной.

====== 24 января 2018 ======
пытаясь доказать алгоритм с прошлого занятия, мы натолкнулись на следующую задачу, которую начали атаковать:
//при каких условиях на пару замкнутых ломаных число их точек пересечения чётно?//
ответ (КОП-критерий):
  * у ломаных не совпадают вершины;
  * вершины одной не лежат на рёбрах другой;
  * рёбра одной не проходят через точк пересечения рёбер другой.

====== 17 января 2018 ======
мы пытались придумать алгоритм, выясняющий, лежит ли данная точка внутри данной несамопересекающейся ломаной, или снаружи.
для этого мы прописали следующие функции:
  * по отрезку и прямой выяснить, пересекает ли прямая отрезок;
  * по отрезку и лучу выяснить, пересекает ли отрезок луч
(входные данные -- координаты концов отрезка, конца луча и произвольной точки на луче).

====== 6 декабря 2017 ======
я попробую рассказать про стабильные особенности гладких отображений из поверхности в поверхность; это заведомо адово и не до конца понятно, поэтому тема продлится в течение лишь одного занятия -- не пропустите.

====== 29 ноября 2017 ======
мы нарисовали пучок коник \(a(x^2-1)+b(y^2-1)=0\) (где \( (a,b)\) -- любые пары вещественных чисел, отличные от \( (0,0)\)). получилось довольно красиво, но очень страшно, гиперболы там полезли, эллипсы..
    
====== 22 ноября 2017 ======
мы начали говорить про алгебраические уравнения от двух переменных и про кривые на плоскости, которые ими задаются. в частности, удалось доказать равносильность двух определений эллипса -- как множества точек, сумма расстояний от которых до двух фокусов постоянна, и как окружности, растянутой по одному из направлений. 
ещё поговорили про приводимые кривые и выяснили, как нарисовать кривую \(F(x,y)G(x,y)=0\), зная кривые \(F(x,y)=0\) и \(G(x,y)=0\).
**домашнее задание**
**1.** попробуйте доказать, что отрезки, соединяющие точку на эллипсе с двумя фокусами, образуют равные углы с касательной в этой точке.
**2.** даны окружности, заданные уравнениями \(x^2+y^2-9=0\) и \((x+1)^2+(y+2)^2-4=0\). попробуйте найти уравнение прямой, проходящей через их точки пересечения, //не находя// эти самые точки.

====== 15 ноября 2017 ====== 
мы попробуем определить эйлерову характеристику, доказать её инвариантность при гомеоморфизмах и вывести из этого, что поверхности разного рода не гомеоморфны. 

====== 8 ноября 2017 ======
сегодня мы (частично) разобрали домашнее задание на каникулы, попутно обнаружив доселе не открытый пятый способ разбить стороны шестиугольника на пары (и дающий после склеивания сферу). в ходе разбора мы уверились, что никакого разумного способа перечислить такие разбиения нет, но каков род полученной после склеивания поверхности понять не особенно сложно.

====== 25 октября 2017======
мы продолжили резать ориентируемые поверхности по разным наборам кривых. а именно, мы доразобрались с тором и порезали поверхность рода 2.
затем мы занимались обратной процедурой: склеиванием сторон 2//n//-угольника (без перекрутки) в каком-либо порядке. 
**упражнение на каникулы.** 
**а)** //Сколькими способами можно разбить на пары стороны правильного восьмиугольника?//
**б)** //Поверхность какого рода получается при склеивании парных сторон для каждого из способов?//
у квадрата таких способов два (получаются сфера и тор), а у шестиугольника -- четыре (получается сфера и три тора). что же получается для восьмиугольника мы узнаем за каникулы, либо после, а затем, возможно, наконец обсудим более сложные вопросы, например почему сфера и тор не гомеоморфны.

====== 18 октября 2017======
мы поговорили про ориентируемые поверхности и обсудили, что будет если разрезать тор по меридиану, параллели, по параллели и по меридиану, да и вообще по любой кривой, а затем принялись делать то же с поверхностью произвольного рода g.

====== 4 октября 2017======
мы определили действия групп, орбиты действия и стабилизаторы точек. примеров действия групп у нас пока не очень много, все они происходят из комбинаторных задач про раскраски. в конце была сформулирована формула Бёрнсайда, мы наметили путь её (возможного) доказательства через подсчёт двумя способами, а также попробовали применить для доказательства малой теоремы Ферма. 
дома желающим предлагается изучить количество расстановок \(p\) ладей на торе  \(p\times p\) и доказать с помощью него теорему Вильсона: \((p-1)!-1\) делится на \(p\).

======27 сентября 2017======
мы рассмотрели группы перестановок, состоящие из всех преобразований фиксированного конечного множества, затем мы обобщили понятие группы преобразований и посмотрели на примерах, какими они бывают.

======20 сентября 2017======
мы поговорили про отображения между множествами и посмотрели на композиции отображений. выяснилось, что композиция отображений \(A \to A\) ассоциативна, но не коммутативна, что для них существует нейтральный элемент, а обратные -- только для некоторых. совокупность обратимых отображений называется //группой (всех) преобразований A//. изучением этого объекта мы и рассчитываем заняться в следующий раз.