Сравнение версий ВШ 2024 / Проекты
| Version1 | Version2 | Differences |
|---|---|---|
| 2 | 2 | ==={{anchor href="ae"}}Недоказуемость, быстрорастущие функции и ординалы. очень сложно=== |
| 3 | 3 | Мы докажем, что Геркулес всегда побеждает гидру в ((http://www.madore.org/~david/math/hydra.xhtml некоторой конечной игре)), но это невозможно доказать, используя только конечные множества (или арифметику Пеано). По дороге познакомимся с ординалами и (проиндексированной ими) иерархией быстрорастущих функций. |
| 4 | 4 | В арифметике Пеано можно формализовать все рассуждения, для которых не нужны бесконечные множества. В частности, всю математику до 19 века, но не только её. Тем не менее, есть утверждения, которые в ней нельзя доказать, хотя они верны. Это следует из теорем Гёделя о неполноте. Вторая теорема Гёделя о неполноте даёт конкретное утверждение, которые недоказуемо в данной системе аксиом, но это специально сконструированное логическое утверждения. Мы рассмотрим "естественную" комбинаторную задачу (или задачи, если успеем), которая могла бы встретиться на олимпиаде, в формулировке которой нет ничего бесконечного, но которая недоказуема в арифметике Пеано. |
| 5 |
Давайте науимся считать. 0, 1, 2, 3, 4, .... Что после многоточия? ω. А потом? ω+1, ω+2, .... А потом? 2ω, 2ω+1, ..., 3ω, ..., 4ω, ..., ω |
|
| 5 | Давайте науимся считать. 0, 1, 2, 3, 4, .... Что после многоточия? ω. А потом? ω+1, ω+2, .... А потом? 2ω, 2ω+1, ..., 3ω, ..., 4ω, ..., ωІ, ...ωі, ... ω^ω, ..., ω^ω^ω, .... Мы только начали, дальше будет много всего интересного! | |
| 6 | 6 | ((https://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function Последовательность Аккермана)) (1, 3, 7, 61, 2^(2^(2^(2^16))) - 3, дальше записать не получится) довольно быстро растёт. Но она в самом начале иерархии быстрорастущих функций, которую мы построим. Номера функций в этой последовательности --- ординалы. |
| 7 | 7 | Где-то гораздо дальше функции Аккермана будет число ходов, за которое Геркулес гарантированно победит гидру. Мы докажем, что эта функция растёт быстро и воспользуемся теоремой Вайнера, которая утверждает, что, если функция растёт достаточно быстро, то в арифметике Пеано не получится доказать то, что она всюду определена. А их того, что Геркулес всегда побеждает Гидру, следует, что наша функция всюду определена. В теорему Вайнера мы поверим без доказательства. |
| 8 | 8 | Сначала попробуйте доказать, что ((http://www.madore.org/~david/math/hydra.xhtml Геркулес всегда побеждает гидру)) и / или что ((https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%93%D1%83%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0 последовательность Гудстейна)) всегда приходит к 0. |
| 9 |
Дальше придётся читать англоязычную статью (с мое помощью). Вот эта статья, нужно будет разобраться с первыми тремя главами, если получится -- |
|
| 9 | Дальше придётся читать англоязычную статью (с мое помощью). Вот эта статья, нужно будет разобраться с первыми тремя главами, если получится -- продвинуться дальше. | |
| 10 | 10 | Проект очень сложный, не гарантирую, что получится достичь заявленной цели |
| 11 | 11 | |
| 12 | 12 | |
| … | … | … |
| 158 | 158 | ВАЖНО сообщить мне о выбранных проектах до 20 мая, чтобы была возможность подготовить оборудование. Если этого не сделать вовремя, то часть проектов выполнить не получится. Исследованиями по каждой задаче может заниматься по 1-2 ученика, но для съемки и монтажа видеоролика нужны дополнительные люди. |
| 159 | 159 | |
| 160 | 160 | |
| 161 |
==Райко Илья Глебович, |
|
| 161 | ==Райко Илья Глебович, tg: ilya0x2dilya== | |
| 162 | 162 | ==={{anchor href="abd"}}Как компьютеры доказывают теоремы?. 10 класс=== |
| 163 | 163 | Всем известно, что теорема о четырёх красках была доказана при помощи компьютера, но, что значит доказать что-то при помощи компьютера? В этом проекте вы познакомитесь с математическими "принципами", которые лежат в основе большинства систем проверки и автоматического вывода доказательств, а если останутся силы и желание, научимся доказывать теоремы при помощи компьютера или даже напишем свою модельную систему доказательств. |
| 164 | 164 |