Сравнение версий ВШ 2024 / Проекты
Добавлено:
Мы докажем, что Геркулес всегда побеждает гидру в некоторой конечной игре, но это невозможно доказать, используя только конечные множества (или арифметику Пеано). По дороге познакомимся с ординалами и (проиндексированной ими) иерархией быстрорастущих функций.
В арифметике Пеано можно формализовать все рассуждения, для которых не нужны бесконечные множества. В частности, всю математику до 19 века, но не только её. Тем не менее, есть утверждения, которые в ней нельзя доказать, хотя они верны. Это следует из теорем Гёделя о неполноте. Вторая теорема Гёделя о неполноте даёт конкретное утверждение, которые недоказуемо в данной системе аксиом, но это специально сконструированное логическое утверждения. Мы рассмотрим «естественную» комбинаторную задачу (или задачи, если успеем), которая могла бы встретиться на олимпиаде, в формулировке которой нет ничего бесконечного, но которая недоказуема в арифметике Пеано.
Давайте науимся считать. 0, 1, 2, 3, 4,.... Что после многоточия? ω. А потом? ω+1, ω+2,.... А потом? 2ω, 2ω+1, ..., 3ω, ..., 4ω, ..., ωІ, ...ωі, ... ω^ω, ..., ω^ω^ω,.... Мы только начали, дальше будет много всего интересного!
Последовательность Аккермана (1, 3, 7, 61, 2^(2^(2^(2^16))) – 3, дальше записать не получится) довольно быстро растёт. Но она в самом начале иерархии быстрорастущих функций, которую мы построим. Номера функций в этой последовательности
ординалы.
Где-то гораздо дальше функции Аккермана будет число ходов, за которое Геркулес гарантированно победит гидру. Мы докажем, что эта функция растёт быстро и воспользуемся теоремой Вайнера, которая утверждает, что, если функция растёт достаточно быстро, то в арифметике Пеано не получится доказать то, что она всюду определена. А их того, что Геркулес всегда побеждает Гидру, следует, что наша функция всюду определена. В теорему Вайнера мы поверим без доказательства.
Сначала попробуйте доказать, что Геркулес всегда побеждает гидру и / или что последовательность Гудстейна всегда приходит к 0.
Дальше придётся читать англоязычную статью (с мое помощью). Вот эта статья, нужно будет разобраться с первыми тремя главами, если получится — продвинуться дальше.
В арифметике Пеано можно формализовать все рассуждения, для которых не нужны бесконечные множества. В частности, всю математику до 19 века, но не только её. Тем не менее, есть утверждения, которые в ней нельзя доказать, хотя они верны. Это следует из теорем Гёделя о неполноте. Вторая теорема Гёделя о неполноте даёт конкретное утверждение, которые недоказуемо в данной системе аксиом, но это специально сконструированное логическое утверждения. Мы рассмотрим «естественную» комбинаторную задачу (или задачи, если успеем), которая могла бы встретиться на олимпиаде, в формулировке которой нет ничего бесконечного, но которая недоказуема в арифметике Пеано.
Давайте науимся считать. 0, 1, 2, 3, 4,.... Что после многоточия? ω. А потом? ω+1, ω+2,.... А потом? 2ω, 2ω+1, ..., 3ω, ..., 4ω, ..., ωІ, ...ωі, ... ω^ω, ..., ω^ω^ω,.... Мы только начали, дальше будет много всего интересного!
Последовательность Аккермана (1, 3, 7, 61, 2^(2^(2^(2^16))) – 3, дальше записать не получится) довольно быстро растёт. Но она в самом начале иерархии быстрорастущих функций, которую мы построим. Номера функций в этой последовательности
ординалы.
Где-то гораздо дальше функции Аккермана будет число ходов, за которое Геркулес гарантированно победит гидру. Мы докажем, что эта функция растёт быстро и воспользуемся теоремой Вайнера, которая утверждает, что, если функция растёт достаточно быстро, то в арифметике Пеано не получится доказать то, что она всюду определена. А их того, что Геркулес всегда побеждает Гидру, следует, что наша функция всюду определена. В теорему Вайнера мы поверим без доказательства.
Сначала попробуйте доказать, что Геркулес всегда побеждает гидру и / или что последовательность Гудстейна всегда приходит к 0.
Дальше придётся читать англоязычную статью (с мое помощью). Вот эта статья, нужно будет разобраться с первыми тремя главами, если получится — продвинуться дальше.
Райко Илья Глебович, tg: ilya0x2dilya
Удалено:
Мы докажем, что Геркулес всегда побеждает гидру в некоторой конечной игре, но это невозможно доказать, используя только конечные множества (или арифметику Пеано). По дороге познакомимся с ординалами и (проиндексированной ими) иерархией быстрорастущих функций.
В арифметике Пеано можно формализовать все рассуждения, для которых не нужны бесконечные множества. В частности, всю математику до 19 века, но не только её. Тем не менее, есть утверждения, которые в ней нельзя доказать, хотя они верны. Это следует из теорем Гёделя о неполноте. Доказательства Гёделя содержит конкретные примеры утверждений, которые недоказуемы в данной системе аксиом, но это специально сконструированные логические утверждения. Мы рассмотрим комбинаторную задачу (или задачи, если успеем), которая могла бы встретиться на олимпиаде, в формулировке которой нет ничего бесконечного, но которая недоказуема в арифметике Пеано.
Давайте науимся считать. 0, 1, 2, 3, 4,.... Что после многоточия? ω. А потом? ω+1, ω+2,.... А потом? 2ω, 2ω+1, ..., 3ω, ..., 4ω, ..., ω², ...ω³, ... ω^ω, ..., ω^ω^ω,.... Мы только начали, дальше будет много всего интересного!
Последовательность Аккермана (1, 3, 7, 61, 2^(2^(2^(2^16))) – 3, дальше записать не получится) довольно быстро растёт. Но она в самом начале иерархии быстрорастущих функций, которую мы построим. Номера функций в этой последовательности
ординалы.
Где-то гораздо дальше функции Аккермана будет число ходов, за которое Геркулес гарантированно победит гидру. Мы докажем, что эта функция растёт быстро и воспользуемся теоремой Вайнера, которая утверждает, что, если функция растёт достаточно быстро, то в арифметике Пеано не получится доказать то, что она всюду определена. А их того, что Геркулес всегда побеждает Гидру, следует, что наша функция всюду определена. В теорему Ванеры мы, скорее всего, поверим без доказательства.
Сначала попробуйте доказать, что Геркулес всегда побеждает гидру и / или что последовательность Гудстейна всегда приходит к 0.
Дальше придётся читать англоязычную статью (с мое помощью). Вот эта статья, нужно будет разобраться с первыми тремя главами, если получится
продвинуться дальше.
В арифметике Пеано можно формализовать все рассуждения, для которых не нужны бесконечные множества. В частности, всю математику до 19 века, но не только её. Тем не менее, есть утверждения, которые в ней нельзя доказать, хотя они верны. Это следует из теорем Гёделя о неполноте. Доказательства Гёделя содержит конкретные примеры утверждений, которые недоказуемы в данной системе аксиом, но это специально сконструированные логические утверждения. Мы рассмотрим комбинаторную задачу (или задачи, если успеем), которая могла бы встретиться на олимпиаде, в формулировке которой нет ничего бесконечного, но которая недоказуема в арифметике Пеано.
Давайте науимся считать. 0, 1, 2, 3, 4,.... Что после многоточия? ω. А потом? ω+1, ω+2,.... А потом? 2ω, 2ω+1, ..., 3ω, ..., 4ω, ..., ω², ...ω³, ... ω^ω, ..., ω^ω^ω,.... Мы только начали, дальше будет много всего интересного!
Последовательность Аккермана (1, 3, 7, 61, 2^(2^(2^(2^16))) – 3, дальше записать не получится) довольно быстро растёт. Но она в самом начале иерархии быстрорастущих функций, которую мы построим. Номера функций в этой последовательности
ординалы.
Где-то гораздо дальше функции Аккермана будет число ходов, за которое Геркулес гарантированно победит гидру. Мы докажем, что эта функция растёт быстро и воспользуемся теоремой Вайнера, которая утверждает, что, если функция растёт достаточно быстро, то в арифметике Пеано не получится доказать то, что она всюду определена. А их того, что Геркулес всегда побеждает Гидру, следует, что наша функция всюду определена. В теорему Ванеры мы, скорее всего, поверим без доказательства.
Сначала попробуйте доказать, что Геркулес всегда побеждает гидру и / или что последовательность Гудстейна всегда приходит к 0.
Дальше придётся читать англоязычную статью (с мое помощью). Вот эта статья, нужно будет разобраться с первыми тремя главами, если получится
продвинуться дальше.