| 1 |
==Даня Макаров, t.me/danyam127== |
| 2 |
==={{anchor href="ae"}}Недоказуемость, быстрорастущие функции и ординалы. очень сложно=== |
| 3 |
Мы докажем, что Геркулес всегда побеждает гидру в ((http://www.madore.org/~david/math/hydra.xhtml некоторой конечной игре)), но это невозможно доказать, используя только конечные множества (или арифметику Пеано). По дороге познакомимся с ординалами и (проиндексированной ими) иерархией быстрорастущих функций. |
| 4 |
В арифметике Пеано можно формализовать все рассуждения, для которых не нужны бесконечные множества. В частности, всю математику до 19 века, но не только её. Тем не менее, есть утверждения, которые в ней нельзя доказать, хотя они верны. Это следует из теорем Гёделя о неполноте. Вторая теорема Гёделя о неполноте даёт конкретное утверждение, которые недоказуемо в данной системе аксиом, но это специально сконструированное логическое утверждения. Мы рассмотрим "естественную" комбинаторную задачу (или задачи, если успеем), которая могла бы встретиться на олимпиаде, в формулировке которой нет ничего бесконечного, но которая недоказуема в арифметике Пеано. |
| 5 |
Давайте науимся считать. 0, 1, 2, 3, 4, .... Что после многоточия? ω. А потом? ω+1, ω+2, .... А потом? 2ω, 2ω+1, ..., 3ω, ..., 4ω, ..., ω², ...ω³, ... ω^ω, ..., ω^ω^ω, .... Мы только начали, дальше будет много всего интересного! |
| 6 |
((https://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function Последовательность Аккермана)) (1, 3, 7, 61, 2^(2^(2^(2^16))) - 3, дальше записать не получится) довольно быстро растёт. Но она в самом начале иерархии быстрорастущих функций, которую мы построим. Номера функций в этой последовательности --- ординалы. |
| 7 |
Где-то гораздо дальше функции Аккермана будет число ходов, за которое Геркулес гарантированно победит гидру. Мы докажем, что эта функция растёт быстро и воспользуемся теоремой Вайнера, которая утверждает, что, если функция растёт достаточно быстро, то в арифметике Пеано не получится доказать то, что она всюду определена. А их того, что Геркулес всегда побеждает Гидру, следует, что наша функция всюду определена. В теорему Вайнера мы поверим без доказательства. |
| 8 |
Сначала попробуйте доказать, что ((http://www.madore.org/~david/math/hydra.xhtml Геркулес всегда побеждает гидру)) и / или что ((https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%93%D1%83%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0 последовательность Гудстейна)) всегда приходит к 0. |
| 9 |
Дальше придётся читать англоязычную статью (с мое помощью). Вот эта статья, нужно будет разобраться с первыми тремя главами, если получится --- продвинуться дальше. |
| 10 |
Проект очень сложный, не гарантирую, что получится достичь заявленной цели |
| 11 |
|
| 12 |
|
| 37 |
|
| 38 |
План: вы приходите ко мне, рассказываете, какую цель вы мечтаете достичь (какой прорыв совершить). Мы с вами обсуждаем и вместе пытаемся понять, насколько разумно ставить именно эту цель, как её лучше сформулировать. И потом как её достичь в рамках нашей Майской школы. Дальше вы работаете и мы с вами регулярно обсуждаем, как идут дела. В середине школы постараемся подключить психолога (если вы не будете против), (потому что для того, чтобы совершить ПРОРЫВ, крайне полезно быть в хорошей форме не только интеллектуально и физически, но и психологически. А у всех у нас свои тараканы и блоки...) |
| 39 |
|
| 40 |
На докладе в конце школы надо будет поделиться опытом, рассказать в чём состояла работа, что получилось, ... |
| 41 |
|
| 42 |
|
| 43 |
==Шнитке Михаил Анатольевич, == |
| 44 |
==={{anchor href="aba"}}Решение уравнений. 7,8 классы=== |
| 45 |
Начнем с квадратных уравнений, но рассмотрим их с несколько необычной точки зрения. Попутно докажем некоторые неравенства, например, неравенство Коши о том, что среднее арифметическое любого конечного количества чисел больше (нестрого) их среднего геометрического. |
| 46 |
Затем вы попробуете перейти к решению уравнений третьей (может быть, и четвертой степени. |
| 47 |
Требование: умение делить с остатком многочлен на многочлен и понимание, что такое деление – однозначно. |
| 48 |
|
| 49 |
|
| 50 |
|
| 51 |
==={{anchor href="abb"}} Аналитическое (аксиоматическое) задание тригонометрических функций. 8, 10 классы=== |
| 52 |
Обычно в школе тригонометрические функции вводятся исходя из геометрической интуиции. Но их можно задать и аксиоматически. Так же, как и в геометрии, где аксиоматическое основание – традиционно; и именно оно на протяжении веков было главным инструментом развития способности отличать верные рассуждения от неверных. |
| 53 |
В этом проекте вы и будете строить тригонометрию из аксиом. Если успеете, построите еще и комплексные числа. |
| 54 |
Требование: желательно знакомство с теоремой косинусов или готовность с ней быстро познакомиться. |
| 55 |
|
| 56 |
|
| 57 |
|
| 58 |
==={{anchor href="abc"}}Алгебраическое изготовление игры Доббль. 8, 10 классы=== |
| 59 |
Понятие алгебраического поля, расширений полей. Исследование конечных полей и их расширений. Понятие векторного пространства над полем. Понятие проективной плоскости. На основании этих понятий вы исследуете возможности построения правильных вариантов игры Доббль. |
| 60 |
|
| 61 |
|
| 62 |
|
| 63 |
==Ильинский Дмитрий Геннадиевич (берёт максимум 3 проекта из четырёх предложенных им), ilinskiy@179.ru== |
| 64 |
==={{anchor href="ai"}}Создание puzzle hunta для игры в последний вечер. 7,8,10 классы=== |
| 65 |
Цель проекта - сделать игру для последнего вечера, основанную на загадках (см. https://en.wikipedia.org/wiki/Puzzle_hunt) математической направленности. Надо: |
| 66 |
1. Посмотреть на разные типы загадок, выбрать понравившиеся, переформулировать /перевести под наши нужды. |
| 67 |
2. Тестировать загадки друг на друге, чтобы выявить сложные места и написать подсказки. |
| 68 |
3. Если есть желающие попрограммировать - помочь написать телеграм-бота для самой игры |
| 69 |
4. Во время самой игры следить, чтобы всё работало. После окончания игры нужно будет быстро собрать статистику. |
| 70 |
|
| 71 |
|
| 72 |
|
| 73 |
==={{anchor href="abf"}}Криптографические протоколы, вероятностные тесты на простоту. 7,8 класс=== |
| 74 |
Одной из больших проблем криптографии XX века была передача ключа по открытым каналам. Представьте, что есть два человека A и Б, которые хотят обменяться информацией друг с другом, и есть сторонний наблюдатель, который перехватывает любую информацию, которою A и Б передают друг другу? Оказывается, можно придумать такой алгоритм (протокол), который позволит A и Б безопасно это сделать. В основном мы будем обсуждать самую простую версию этого протокола (остатки, порядки элементов), а также (если будет время) обсудим сопутствующие вопросы (вероятностные тесты на простоту). |
| 75 |
|
| 76 |
Требования минимальные: надо уметь работать с остатками по модулю p, ничего больше не предполагается. 10-классники могут принять участие, но кажется, они про это уже хорошо знают? |
| 77 |
Будет как минимум одна лекция - вводная в курс + листок с задачами, которые можно решать |
| 78 |
|
| 79 |
|
| 80 |
==={{anchor href="abg"}}Стабильные паросочетания. 7,8,10 классы=== |
| 81 |
“Задача об устойчивых паросочетаниях (или задача о марьяже) — задача из теории кооперативных игр, возникшая в середине 20-го века. Требуется найти стабильные соответствия между элементами двух множеств, имеющих свои предпочтения. Алгоритм нахождения решения был сформулирован и доказан в 1962 году и имеет широкие применения, такие как распределения врачей по больницам, стажировка сотрудников фирм, распределение пользователей сети по серверам. Авторы этого алгоритма были удостоены Нобелевской премии в 2012-м году “за теорию устойчивого распределения и моделирование некоммерческих рынков.” |
| 82 |
|
| 83 |
Требования минимальные: будут использоваться понятия множества, отображения, графы, полезно будет также иметь представление о паросочетаниях, но это всё не обязательно. |
| 84 |
Будет как минимум одна лекция - вводная в курс + листок с задачами, которые можно решать |
| 85 |
|
| 86 |
|
| 87 |
==={{anchor href="abh"}}Потоки на графах. 7,8,10 классы=== |
| 88 |
В теории оптимизации и теории графов, задача о максимальном потоке заключается в нахождении такого потока по транспортной сети, что сумма потоков из истока, или, что то же самое, сумма потоков в сток максимальна. Эта задача является частным случаем более трудных задач, например задаче о циркуляции. |
| 89 |
|
| 90 |
В 1955 году был впервые предложен алгоритм (названный в честь его авторов, Форда и Фалкерсона), специально предназначенный для решения этой задачи. В дальнейшем он неоднократно улучшался. |
| 91 |
|
| 92 |
|
| 93 |
Мы обсудим постановку и решение задачи, а также различные применения в теории графов. |
| 94 |
|
| 95 |
Требования: базовая теория графов |
| 96 |
Будет как минимум одна лекция - вводная в курс + листок с задачами, которые можно решать |
| 97 |
|
| 98 |
|
| 99 |
==Челпанова Анастасия Владимировна, chelpanova@179.ru== |
| 100 |
==={{anchor href="adb"}}Актерское мастерство. 7,8,10 классы=== |
| 101 |
Поговорим об основных эмоциях человека, их проявлениях, особенностях их демонстрации не сцене, и сложностях работы с ними. Попробуем актерское взаимодействие на примере заготовленных текстов и импровизаций. Это отличная возможность безобидно покричать друг на друга, посмеяться или поплакать вместе! |
| 102 |
Результат проекта: доклад+актерские этюды. |
| 103 |
|
| 104 |
|
| 105 |
|
| 106 |
==Марина Евгеньевна Ханыкова, khanykova@179.ru== |
| 107 |
==={{anchor href="ag"}}Короткометражка "Жизнь в лагере"на английском. . любой=== |
| 108 |
Идея в том, что дети порознь или в парах составляют вопросы на тему жизни в этом зимнем лагере. Вопросы можно адресовать как ученикам, так и учителям. Затем ученики опрашивают присутствующих в лагере на английском. Быстро задают вопросы в формате "Интерьвью со звездой", интервьюируемый быстро отвечает на вопросы. Затем ученики монтируют короткое документальное видео на 2 минуты. |
| 109 |
https://youtu.be/1m4kACjApZs |
| 110 |
|
| 111 |
|
| 112 |
==Швецов Дмитрий Викторович, t.me/shvetsov_dima== |
| 113 |
==={{anchor href="acc"}}Надстройки. 7-8 классы=== |
| 114 |
"На сторонах треугольника/четыёрухгольника построили...". До наших дней на математических олимпиадах самого разного уровня предлагаются конструкции, в которых на сторонах строятся правильные треугольники, квадраты и т.п. В проекте вам предлагается разобраться с подобного рода конструкциями, параллельно будем придумывать новые задачи. |
| 115 |
|
| 116 |
|
| 117 |
|
| 118 |
==={{anchor href="acd"}}Вокруг задачи Произволова В.В.. 8 и 10 классы=== |
| 119 |
Простая по виду конструкция "Угол в квадрте"(https://geometry.ru/articles/angle_in_square.pdf) отражает в себе многие идеи элементарной геометрии. В проекты сначала познакомимся с уже известными результатми конструкции, а затем будем искать новое. |
| 120 |
|
| 121 |
|
| 122 |
|
| 123 |
==={{anchor href="ace"}}Парабола v.s. окружность. 8 и 10 классы=== |
| 124 |
Оказывается, что некоторые утверждения геометрии окружности переносятся и на параболы. В проекте будем разбираться в этом: https://dev.mccme.ru/~merzon/conics/conics-alg.pdf |
| 125 |
|
| 126 |
|
| 127 |
|
| 128 |
==Саша Юран, t.me/karapsina== |
| 129 |
==={{anchor href="acj"}}Японские головоломки . любой=== |
| 130 |
Существует великое множество головоломок, которые можно решать на бумаге. Все знают судоку и номограммы (они же японские кроссворды). Есть и другие. Лично мне больше всего нравятся masyu и yajilin. В проекте можно заниматься разными вещами, например, придумать новый вид головоломок или научиться составлять головоломки старых видов. Можно задаться вопросом: какое минимальное количество информации должно быть дано, чтобы решение головоломки стало единственным? Например, какое минимальное количество клеток нужно покрасить на доске n*n так, чтобы по всем белым клеткам был ровно один способ пройти по циклу, переходя только в соседние по стороне клетки? |
| 131 |
|
| 132 |
Материалы: погглите и поразгадывайте какие-нибудь головоломки. Например, masyu, yajilin, nurikabe, tapa, итд. Например, на сайте https://puzz.link/db/ |
| 133 |
|
| 134 |
|
| 135 |
|
| 136 |
==={{anchor href="ada"}}Циклические коды . 10 класс=== |
| 137 |
Теория кодирований занимается следующим вопросом: как закодировать сообщение так, чтобы даже если при передаче сообщения возникло несколько ошибок, можно было восстановить исходное сообщение. Для исправления k ошибок подряд, к примеру, достаточно построить набор строк из нулей и единиц такой, что любые две строки набора отличаются друг от друга хотя бы в k позициях. |
| 138 |
|
| 139 |
Мы будем реализовывать один из таких кодов — циклический. У проекта две части: математическая, в которой мы будем строить код с применением линейной алгебры и круговых многочленов и программная, в которой нужно реализовать циклический код на компьютере и проверить, насколько качественно он работает. |
| 140 |
|
| 141 |
Материалы: для математической части нужно помнить теорию чисел (например, малую теорему Ферма), в реализационной части нужен кто-то, кто может написать класс. |
| 142 |
|
| 143 |
Материалы скоро будут в папке https://drive.google.com/drive/folders/1MTVMt8ES1H6mhzv8Xi4HB5OhjL5NEBtI |
| 144 |
|
| 145 |
|
| 146 |
|
| 147 |
==Рудько Юрий, rudko@179.ru== |
| 148 |
==={{anchor href="adc"}}Четырёхмерный куб. === |
| 149 |
Каждый уважающий себя математик просто обязан время от времени пытаться представить себе четврехмерный куб (если вы никогда не пробовали, попытайтесь прямо сейчас!). Несмотря на то, что представить себе сам куб ни у кого не выходит, про него можно многое понять уже в школе. Например, ответить на вопрос "какой многогранник может получаться в сечении четырехмерного куба, трехмерным пространством перпендикулярно главной диагонали" можно, используя один только метод координат. Это и есть наш основной план. Для продвинутых есть опция разобраться с аналогичным вопросом для пятимерного куба (ни за что не догадаетесь, какой там ответ!). |
| 150 |
1. Разобраться, что такое n-мерный куб, как устроены его ребра и грани. 2. Понять, что такое сечение и как устроены уже его ребра и грани. 3. Научиться определять многогранник по структуре ребер. Для продвинутых возможно вычисление групп симметрий. 4*. Для совсем продвинутых возможно провести аналогичные вычисления для пятимерного куба и изучить полученный четврехмерный многогранник. Обещаю, вы удивитесь |
| 151 |
|
| 152 |
|
| 153 |
==Скребцов Радий Юрьевич, rskrebtsov@179.ru== |
| 154 |
==={{anchor href="ah"}}Физика. 7,8,10 классы=== |
| 155 |
Список задач на выбор https://drive.google.com/file/d/1RnGdr_-75NQ-7oG8WIC1LfZJcT41sJh-/view?usp=sharing |
| 156 |
|
| 157 |
Описание 14 проектных задач на выбор можно найти в файле по ссылке https://drive.google.com/file/d/1RnGdr_-75NQ-7oG8WIC1LfZJcT41sJh-/view?usp=sharing у каждой задачи есть краткое описание, что подразумевается сделать, но также любую задачу можно видоизменить по интересам конкретных исследователей. |
| 158 |
ВАЖНО сообщить мне о выбранных проектах до 20 мая, чтобы была возможность подготовить оборудование. Если этого не сделать вовремя, то часть проектов выполнить не получится. Исследованиями по каждой задаче может заниматься по 1-2 ученика, но для съемки и монтажа видеоролика нужны дополнительные люди. |
| 159 |
|
| 160 |
|
| 161 |
==Райко Илья Глебович, https://t.me/ilya0x2dilya== |
| 162 |
==={{anchor href="abd"}}Как компьютеры доказывают теоремы?. 10 класс=== |
| 163 |
Всем известно, что теорема о четырёх красках была доказана при помощи компьютера, но, что значит доказать что-то при помощи компьютера? В этом проекте вы познакомитесь с математическими "принципами", которые лежат в основе большинства систем проверки и автоматического вывода доказательств, а если останутся силы и желание, научимся доказывать теоремы при помощи компьютера или даже напишем свою модельную систему доказательств. |
| 164 |
|
| 165 |
Требования. Нужно быть близко знакомыми с основами математической логики: знать и не боятся кванторов, знать базовые свойства логических связок (например, что A & A = A). Необязательным плюсом будет умение строить К/ДНФ. |
| 166 |
|
| 167 |
|
| 168 |
|
| 169 |
==Сергей Александрович Дориченко, @sergey_dorichenko== |
| 170 |
==={{anchor href="acf"}}Многочлены, кривые и геометрия. 10 класс=== |
| 171 |
Мы познакомимся с многочленами от двух переменных и кривыми, которые задаются этими многочленами. |
| 172 |
|
| 173 |
Дадим красивое доказательство теорем Паппа и Паскаля с помощью многочленов (без вычислений!) и доказательство теоремы Брианшона с помощью радикальных осей. |