Проекты (diff) - Школа179

Сравнение версий ВШ 2024 / Проекты

Merge of Version1 & Version2
8	(достаточно первую половину, до многогранников). Как только вы скажете мне, что вам может быть интересен проект, я сделаю первый вводный листок и выложу сюда. А потом мы с вами обсудим -- нужны ли будут ещё задачи, ещё статьи или книги для чтения, или вы сами придумаете себе задачи.
9
10
11	==={{anchor href="a31"}}Неевклидовы геометрии - 8. 8 (семиклассники могут тоже попробовать, если очень хочется, но я бы советовала годик подождать ""=)"" ===
12	Проект посвящён "другим" геометриям -- пространствам, где расстояния измеряются не так, как на плоскости, где, возможно не действуют привычные нам аксиомы.
13	В этом проекте вы будете много исследовать и придумывать себе задачи, а не только и не столько решать уже готовые задачи.
14	Я предлагаю заняться геометрией внутри многоугольника или на поверхности многогранника, но можно будет сосредоточиться на чём-то ещё -- в зависимости от предпочтений и навыков участников проекта.
…	…
129	Будет как минимум одна лекция - вводная в курс + листок с задачами, которые можно решать
130
131
132	==={{anchor href="a31a"}}Потоки на графах. 7,8,10===
133	В теории оптимизации и теории графов, задача о максимальном потоке заключается в нахождении такого потока по транспортной сети, что сумма потоков из истока, или, что то же самое, сумма потоков в сток максимальна. Эта задача является частным случаем более трудных задач, например задаче о циркуляции.
134
135	В 1955 году был впервые предложен алгоритм (названный в честь его авторов, Форда и Фалкерсона), специально предназначенный для решения этой задачи. В дальнейшем он неоднократно улучшался.
…	…
175	==={{anchor href="a31"}}Недоказуемость, быстрорастущие функции и ординалы. очень сложно===
176	Мы докажем, что Геркулес всегда побеждает гидру в некоторой конечной игре, но это невозможно доказать, используя только конечные множества (или арифметику Пеано). По дороге познакомимся с ординалами и (проиндексированной ими) иерархией быстрорастущих функций.
177	В арифметике Пеано можно формализовать все рассуждения, для которых не нужны бесконечные множества. В частности, всю математику до 19 века, но не только её. Тем не менее, есть утверждения, которые в ней нельзя доказать, хотя они верны. Это следует из теорем Гёделя о неполноте. Доказательства Гёделя содержит конкретные примеры утверждений, которые недоказуемы в данной системе аксиом, но это специально сконструированные логические утверждения. Мы рассмотрим комбинаторную задачу (или задачи, если успеем), которая могла бы встретиться на олимпиаде, в формулировке которой нет ничего бесконечного, но которая недоказуема в арифметике Пеано.
178	Давайте науимся считать. 0, 1, 2, 3, 4, .... Что после многоточия? ω. А потом? ω+1, ω+2, .... А потом? 2ω, 2ω+1, ..., 3ω, ..., 4ω, ..., ω~~², ...ω³~~І, ...ωі, ... ω^ω, ..., ω^ω^ω, .... Мы только начали, дальше будет много всего интересного!
179	Последовательность Аккермана (1, 3, 7, 61, 2^(2^(2^(2^16))) - 3, дальше записать не получится) довольно быстро растёт. Но она в самом начале иерархии быстрорастущих функций, которую мы построим. Номера функций в этой последовательности --- ординалы.
180	Где-то гораздо дальше функции Аккермана будет число ходов, за которое Геркулес гарантированно победит гидру. Мы докажем, что эта функция растёт быстро и воспользуемся теоремой Вайнера, которая утверждает, что, если функция растёт достаточно быстро, то в арифметике Пеано не получится доказать то, что она всюду определена. А их того, что Геркулес всегда побеждает Гидру, следует, что наша функция всюду определена. В теорему Ванеры мы, скорее всего, поверим без доказательства.
181	Сначала попробуйте доказать, что Геркулес всегда побеждает гидру и / или что последовательность Гудстейна всегда приходит к 0.