Сравнение версий ВШ 2024 / Проекты
| Merge of Version1 & Version2 | |
|---|---|
| 3 | Проект посвящён "другим" геометриям -- пространствам, где расстояния измеряются не так, как на плоскости, где, возможно не действуют привычные нам аксиомы. |
| 4 | В этом проекте вы будете много исследовать и придумывать себе задачи, а не только и не столько решать уже готовые задачи. |
| 5 | При этом можно будет исследовать как технически простые вещи (квартирная геометрия), так и технически сложные (геометрия на сфере и других поверхностях, галилеева геометрия) -- в зависимости от предпочтений и навыков участников проекта. |
| 6 | При желании можно будет придумать свою геометрию |
| 7 | Для знакомства с проектом посмотрите видео кружочка https://www.youtube.com/watch?v=v2GKPeXdIF0 |
| 8 | (достаточно первую половину, до многогранников). Как только вы скажете мне, что вам может быть интересен проект, я сделаю первый вводный листок и выложу сюда. А потом мы с вами обсудим -- нужны ли будут ещё задачи, ещё статьи или книги для чтения, или вы сами придумаете себе задачи. |
| 9 | |
| 10 | |
| 11 | ==={{anchor href="a31"}}Неевклидовы геометрии - 8. 8 |
| 12 | (семиклассники могут тоже попробовать, если очень хочется, но я бы советовала годик подождать = |
| 13 | Проект посвящён "другим" геометриям -- пространствам, где расстояния измеряются не так, как на плоскости, где, возможно не действуют привычные нам аксиомы. |
| 14 | В этом проекте вы будете много исследовать и придумывать себе задачи, а не только и не столько решать уже готовые задачи. |
| 15 | Я предлагаю заняться геометрией внутри многоугольника или на поверхности многогранника, но можно будет сосредоточиться на чём-то ещё -- в зависимости от предпочтений и навыков участников проекта. |
| 16 | При желании можно будет придумать свою геометрию |
| 17 | Для знакомства с проектом посмотрите видео кружочка https://www.youtube.com/watch?v=v2GKPeXdIF0 |
| 18 | (достаточно первую половину, до многогранников). Как только вы скажете мне, что вам может быть интересен проект, я сделаю первый вводный листок и выложу сюда. А потом мы с вами обсудим -- нужны ли будут ещё задачи, ещё статьи или книги для чтения, или вы сами придумаете себе задачи. |
| 19 | |
| … | … |
| 151 | |
| 152 | |
| 153 | ==Рудько Юрий, rudko@179.ru== |
| 154 | ==={{anchor href="a31"}} |
| 155 | Каждый уважающий себя математик просто обязан время от времени пытаться представить себе четврехмерный куб (если вы никогда не пробовали, попытайтесь прямо сейчас!). Несмотря на то, что представить себе сам куб ни у кого не выходит, про него можно многое понять уже в школе. Например, ответить на вопрос "какой многогранник может получаться в сечении четырехмерного куба, трехмерным пространством перпендикулярно главной диагонали" можно, используя один только метод координат. Это и есть наш основной план. Для продвинутых есть опция разобраться с аналогичным вопросом для пятимерного куба (ни за что не догадаетесь, какой там ответ!). |
| 156 | 1. Разобраться, что такое n-мерный куб, как устроены его ребра и грани. 2. Понять, что такое сечение и как устроены уже его ребра и грани. 3. Научиться определять многогранник по структуре ребер. Для продвинутых возможно вычисление групп симметрий. 4*. Для совсем продвинутых возможно провести аналогичные вычисления для пятимерного куба и изучить полученный четврехмерный многогранник. Обещаю, вы удивитесь |
| 157 | |
| … | … |
| 176 | ==={{anchor href="a31"}}Недоказуемость, быстрорастущие функции и ординалы. очень сложно=== |
| 177 | Мы докажем, что Геркулес всегда побеждает гидру в некоторой конечной игре, но это невозможно доказать, используя только конечные множества (или арифметику Пеано). По дороге познакомимся с ординалами и (проиндексированной ими) иерархией быстрорастущих функций. |
| 178 | В арифметике Пеано можно формализовать все рассуждения, для которых не нужны бесконечные множества. В частности, всю математику до 19 века, но не только её. Тем не менее, есть утверждения, которые в ней нельзя доказать, хотя они верны. Это следует из теорем Гёделя о неполноте. Доказательства Гёделя содержит конкретные примеры утверждений, которые недоказуемы в данной системе аксиом, но это специально сконструированные логические утверждения. Мы рассмотрим комбинаторную задачу (или задачи, если успеем), которая могла бы встретиться на олимпиаде, в формулировке которой нет ничего бесконечного, но которая недоказуема в арифметике Пеано. |
| 179 | Давайте науимся считать. 0, 1, 2, 3, 4, .... Что после многоточия? ω. А потом? ω+1, ω+2, .... А потом? 2ω, 2ω+1, ..., 3ω, ..., 4ω, ..., ω |
| 180 | Последовательность Аккермана (1, 3, 7, 61, 2^(2^(2^(2^16))) - 3, дальше записать не получится) довольно быстро растёт. Но она в самом начале иерархии быстрорастущих функций, которую мы построим. Номера функций в этой последовательности --- ординалы. |
| 181 | Где-то гораздо дальше функции Аккермана будет число ходов, за которое Геркулес гарантированно победит гидру. Мы докажем, что эта функция растёт быстро и воспользуемся теоремой Вайнера, которая утверждает, что, если функция растёт достаточно быстро, то в арифметике Пеано не получится доказать то, что она всюду определена. А их того, что Геркулес всегда побеждает Гидру, следует, что наша функция всюду определена. В теорему Ванеры мы, скорее всего, поверим без доказательства. |
| 182 | Сначала попробуйте доказать, что Геркулес всегда побеждает гидру и / или что последовательность Гудстейна всегда приходит к 0. |
| … | … |
| 185 | |
| 186 | |
| 187 | ==Сергей Александрович Дориченко, @sergey_dorichenko== |
| 188 | ==={{anchor href="a31"}}Многочлены, кривые и геометрия. === |
| 189 | Мы познакомимся с многочленами от двух переменных и кривыми, которые задаются этими многочленами. |
| 190 | |
| 191 | Дадим красивое доказательство теорем Паппа и Паскаля с помощью многочленов (без вычислений!) и доказательство теоремы Брианшона с помощью радикальных осей. |
| … | … |
| 262 | |
| 263 | Требования. Нужно быть близко знакомыми с основами математической логики: знать и не боятся кванторов, знать базовые свойства логических связок (например, что A & A = A). Необязательным плюсом будет умение строить К/ДНФ. |
| 264 | |
| 265 | |