Даня Макаров, t.me/danyam127

Недоказуемость, быстрорастущие функции и ординалы. очень сложно

Мы докажем, что Геркулес всегда побеждает гидру в некоторой конечной игре, но это невозможно доказать, используя только конечные множества (или арифметику Пеано). По дороге познакомимся с ординалами и (проиндексированной ими) иерархией быстрорастущих функций.
В арифметике Пеано можно формализовать все рассуждения, для которых не нужны бесконечные множества. В частности, всю математику до 19 века, но не только её. Тем не менее, есть утверждения, которые в ней нельзя доказать, хотя они верны. Это следует из теорем Гёделя о неполноте. Вторая теорема Гёделя о неполноте даёт конкретное утверждение, которые недоказуемо в данной системе аксиом, но это специально сконструированное логическое утверждения. Мы рассмотрим «естественную» комбинаторную задачу (или задачи, если успеем), которая могла бы встретиться на олимпиаде, в формулировке которой нет ничего бесконечного, но которая недоказуема в арифметике Пеано.
Последовательность Аккермана (1, 3, 7, 61, 2^(2^(2^(2^16))) – 3, дальше записать не получится) довольно быстро растёт. Но она в самом начале иерархии быстрорастущих функций, которую мы построим. Номера функций в этой последовательности
ординалы.
Где-то гораздо дальше функции Аккермана будет число ходов, за которое Геркулес гарантированно победит гидру. Мы докажем, что эта функция растёт быстро и воспользуемся теоремой Вайнера, которая утверждает, что, если функция растёт достаточно быстро, то в арифметике Пеано не получится доказать то, что она всюду определена. А их того, что Геркулес всегда побеждает Гидру, следует, что наша функция всюду определена. В теорему Вайнера мы поверим без доказательства.
Сначала попробуйте доказать, что Геркулес всегда побеждает гидру и / или что последовательность Гудстейна всегда приходит к 0.

Стрелкова Наталия Павловна, strelkova@179.ru

Неевклидовы геометрии – 10. 10 класс

При желании можно будет придумать свою геометрию =) Для начала можно взглянуть на мой доклад на кружочке https://www.youtube.com/watch?v=v2GKPeXdIF0. Можно будет заниматься любыми частями этого доклада или уйти в темы, не вошедшие в доклад.

Неевклидовы геометрии – 8. 8 (семиклассники могут тоже попробовать, если очень хочется, но я бы советовала годик подождать =) класс

При желании можно будет придумать свою геометрию =) Для начала можно взглянуть на мой доклад на кружочке https://www.youtube.com/watch?v=v2GKPeXdIF0. Можно будет заниматься любыми частями этого доклада или уйти в темы, не вошедшие в доклад.

Прорыв за неделю. 7, 8, 10 классы

Шнитке Михаил Анатольевич,

Решение уравнений. 7,8 классы

Требование: умение делить с остатком многочлен на многочлен и понимание, что такое деление – однозначно.

Аналитическое (аксиоматическое) задание тригонометрических функций. 8, 10 классы

Требование: желательно знакомство с теоремой косинусов или готовность с ней быстро познакомиться.

Алгебраическое изготовление игры Доббль. 8, 10 классы

Понятие алгебраического поля, расширений полей. Исследование конечных полей и их расширений. Понятие векторного пространства над полем. Понятие проективной плоскости. На основании этих понятий вы исследуете возможности построения правильных вариантов игры Доббль.

Ильинский Дмитрий Геннадиевич (берёт максимум 3 проекта из четырёх предложенных им), ilinskiy@179.ru

Создание puzzle hunta для игры в последний вечер. 7,8,10 классы

4. Во время самой игры следить, чтобы всё работало. После окончания игры нужно будет быстро собрать статистику.

Криптографические протоколы, вероятностные тесты на простоту. 7,8 класс

Требования минимальные: надо уметь работать с остатками по модулю p, ничего больше не предполагается. 10-классники могут принять участие, но кажется, они про это уже хорошо знают?

Стабильные паросочетания. 7,8,10 классы

Требования минимальные: будут использоваться понятия множества, отображения, графы, полезно будет также иметь представление о паросочетаниях, но это всё не обязательно.

Потоки на графах. 7,8,10 классы

Требования: базовая теория графов

Челпанова Анастасия Владимировна, chelpanova@179.ru

Актерское мастерство. 7,8,10 классы

Результат проекта: доклад+актерские этюды.

Марина Евгеньевна Ханыкова, khanykova@179.ru

Короткометражка «Жизнь в лагере»на английском. . любой

Идея в том, что дети порознь или в парах составляют вопросы на тему жизни в этом зимнем лагере. Вопросы можно адресовать как ученикам, так и учителям. Затем ученики опрашивают присутствующих в лагере на английском. Быстро задают вопросы в формате «Интерьвью со звездой», интервьюируемый быстро отвечает на вопросы. Затем ученики монтируют короткое документальное видео на 2 минуты.

Швецов Дмитрий Викторович, t.me/shvetsov_dima

Надстройки. 7–8 классы

«На сторонах треугольника/четыёрухгольника построили...». До наших дней на математических олимпиадах самого разного уровня предлагаются конструкции, в которых на сторонах строятся правильные треугольники, квадраты и т.п. В проекте вам предлагается разобраться с подобного рода конструкциями, параллельно будем придумывать новые задачи.

Вокруг задачи Произволова В.В.. 8 и 10 классы

Простая по виду конструкция «Угол в квадрте»(https://geometry.ru/articles/angle_in_square.pdf) отражает в себе многие идеи элементарной геометрии. В проекты сначала познакомимся с уже известными результатми конструкции, а затем будем искать новое.

Парабола v.s. окружность. 8 и 10 классы

Оказывается, что некоторые утверждения геометрии окружности переносятся и на параболы. В проекте будем разбираться в этом: https://dev.mccme.ru/~merzon/conics/conics-alg.pdf

Саша Юран, t.me/karapsina

Японские головоломки . любой

Материалы: погглите и поразгадывайте какие-нибудь головоломки. Например, masyu, yajilin, nurikabe, tapa, итд. Например, на сайте https://puzz.link/db/

Циклические коды . 10 класс

Материалы скоро будут в папке https://drive.google.com/drive[...]hzv8Xi4HB5OhjL5NEBtI

Рудько Юрий, rudko@179.ru

Четырёхмерный куб.

Каждый уважающий себя математик просто обязан время от времени пытаться представить себе четврехмерный куб (если вы никогда не пробовали, попытайтесь прямо сейчас!). Несмотря на то, что представить себе сам куб ни у кого не выходит, про него можно многое понять уже в школе. Например, ответить на вопрос «какой многогранник может получаться в сечении четырехмерного куба, трехмерным пространством перпендикулярно главной диагонали» можно, используя один только метод координат. Это и есть наш основной план. Для продвинутых есть опция разобраться с аналогичным вопросом для пятимерного куба (ни за что не догадаетесь, какой там ответ!).
1. Разобраться, что такое n-мерный куб, как устроены его ребра и грани. 2. Понять, что такое сечение и как устроены уже его ребра и грани. 3. Научиться определять многогранник по структуре ребер. Для продвинутых возможно вычисление групп симметрий. 4*. Для совсем продвинутых возможно провести аналогичные вычисления для пятимерного куба и изучить полученный четврехмерный многогранник. Обещаю, вы удивитесь

Скребцов Радий Юрьевич, rskrebtsov@179.ru

Физика. 7,8,10 классы

Описание 14 проектных задач на выбор можно найти в файле по ссылке https://drive.google.com/file/[...]Jh-/view?usp=sharing у каждой задачи есть краткое описание, что подразумевается сделать, но также любую задачу можно видоизменить по интересам конкретных исследователей.

Райко Илья Глебович, https://t.me/ilya0x2dilya

Как компьютеры доказывают теоремы?. 10 класс

Требования. Нужно быть близко знакомыми с основами математической логики: знать и не боятся кванторов, знать базовые свойства логических связок (например, что A & A = A). Необязательным плюсом будет умение строить К/ДНФ.

Сергей Александрович Дориченко, @sergey_dorichenko

Многочлены, кривые и геометрия. 10 класс

Предполагаются известными уравнение окружности, параболы, прямой в декартовых координатах.

Чехлова Анна, ac@179.ru, @achehlova (telegram)

Моделирование цифровых устройств. 7, 8, 10бв классы

Соберём на компьютере работающие логические устройства, попробуем собрать из них простейшее арифметическое устройство с памятью.

Веселова Варвара, тг @kryakar

строим квест – рум. любой

создадим свой квест, придумаем головоломки и подсказки, сколотим черные ящики, навешаем замки и зашифруем подсказки

делаем свою настолку. любой

в настоящее время постоянно выходят новые настолки. давайте попытаемся сделать свою. выберем механику, которая вам ближе, скрестим несколько имеющихся в мире и изобретем что-то совсем новое. сделаем красивые картиночки с помощью вашего художственного таланта или нейросетей, а потом представим творение нашему маленькому лагерному миру.

Андрей Рябичев, телеграм

Провести свой учебный курс. 10 класс

Если у вас есть идея учебного курса (по любой тематике), который можно провести на майской школе у 7 или 8 классов, напишите мне об этом. Важное ограничение: программа и описание курса должны быть подготовлены не позднее понедельника 21 мая, в противном случае курс не получится запустить и тему проекта взять не получится.

Ленточные графы и поверхности. 7–8 классы

В проекте предлагается более плотно разобраться с тем, какие бывают ленточные графы, а также продвинуться в количественном и качественном понимании понятия гомеоморфности. Примеры задач: (а) опишите полный набор инвариантов, классифицирующий ленточные графы с точностью до гомеоморфизма; (б) сколько с точностью до гомеоморфизма есть связных ленточных графов с тремя вершинами и десятью рёбрами?

Поверхности бесконечного типа и их группы классов отображений. 10 класс

В этом проекте мы, во-первых, попробуем доказать теорему, классифицирующую некомпактные поверхности. Моножество гомеоморфизмов поверхности с самой собой с точностью до гомотопии называется группой классов отображений. Вторая цель проекта — попробовать сравнить свойства группы классов отображений в компактном и некомпактном случае и сформулировать различия, которые покажутся интересными.

Хрущёв Михаил Муляевич, тг @TrueMulyaevic

Открытки (проект «Пишу тебе»). 7,8,10 класс

Результат: расшифрованные тексты, описание открытки по шаблону, найденная по возможности информация об авторах и адресах.

Даша Аракелова и Даня Макаров, t.me/noumaa, t.me/danyam127

Автоматическая оценка сочинений ЕГЭ. любой

Сочинения на ЕГЭ проверяются вручную экспертами. А можно ли научить компьютер это делать? Мы поставим перед собой такую задачу: возьмем набор сочинений по русскому или английскому языку, которым уже выставлена оценка, и попробуем обучить модель, которая воспроизводит этот результат и оценивает новые сочинения. На этом частном случае задачи классификации текстов мы узнаем, как устроена обработка данных, как статистика применяется в машинном обучении и как работать с нейросетями. Для проекта понадобится знание Python.

Генерация текстов. любой

Цель этого проекта – научиться компьютерными методами создавать новые тексты на основе других, заранее заданных. Мы поговорим о том, как с помощью частотных методов и программирования создать последовательность слов, похожую на естественную речь, и сможем сгенерировать текст в стиле писателя-классика или новостного канала, а потом посмотрим, как с этой задачей справляются нейросети. Для проекта понадобится знание Python.

Игорь Эльман, ielman@179.ru @iGorashx

Что можно и что нельзя построить циркулем и линейкой?. 10 (и для супер увлеченных 8) классов класс

Можно ли циркулем и линейкой разделить данный угол на три равные части, построить квадрат, равновеликий данному кругу или построить куб в два раза большего объема, чем данный? Ответ на эти задачи, которые занимали ещё древних греков, вам, вероятно, известен. В ходе проекта обоснуем этот ответ и попробуем замахнуться на результат Гаусса о построимости правильных многоугольников.

Карпов Евгений Васильевич, Стрелкова Наталия Павловна, karpov@179.ru

Как справиться с мышечной болью и усталостью от занятий спортом. 7,8,10 классы

Что-то из перечисленного можно будет не делать, но точно нельзя пропускать первый и последний пункт.