Особенности представления и работы с действительными числами

Десятичный мир

Для начала представим себе, что данные в компьютерах хранятся в ячейках-"битах", каждое из которых может принимать 10 разных значений. В таком случае очень легко хранить положительные целые числа: каждое число по цифрам записывается в ячейки памяти. Реальный процессор может выполнять арифметические с такими числами, но есть проблема: чем больше цифр в числах, которые он сможет складывать за одну операцию (такт), тем сложнее его проектировать, тем больше тепла он выделяет и энергии потребляет. Поэтому необходимо выбрать некоторое фиксированную "стандартную" длину чисел так, чтобы с одной стороны для большей части основных задач числа туда помещались, с другой стороны были наиболее короткими. Например, можно выбрать длину в 10 цифр для "обычных" чисел и длину 20 для "длинных" (операций с длинными целыми числами за один такт процессора будет выполняться меньше). Кстати, нам потребуется хранить ещё и знак числа. Как лучше всего это сделать — вопрос очень хороший. Для простоты можно считать, что знак мы храним в старшей цифре: если старшая цифра 0, то число положительное, если 1 — то отрицательное.

Итак, мы научились хранить целые числа. А как хранить действительные числа?

Можно, например, хранить десять цифр целой части и десять цифр дробной. Идея очень простая, но не очень полноценная. Обычное число Авогадро $6.02\cdot10^{23}$ записать уже не получится.

Можно было хранить числитель и знаменатель дроби (рационального числа). Но кроме множества проблем это не решает проблемы с $6.02\cdot10^{23}$ (ведь придётся хранить очень большое число, а, значит, нужно хранить много цифр).

Но если нужно уметь работать с числами вида $6.02\cdot10^{23}$, то может быть прямо так и хранить? Скажем, хранить 15 цифр числа (плюс 1 цифра на знак) и 3 цифры степени (плюс снова 1 цифра на знак степени), в сумме 20 цифр, или "стандартное" длинное число. В этом случае станет возможно работать с числами от $10^{-999}$ до $10^{999}$ с точностью 15 значащих цифр. Значащие цифры в такой записи называются мантиссой, а степень — экспонентой. Число Авогадро при этом можно было бы записать как $602\cdot10^{21}$.

Заметим, что число Авогадро в виде $x\cdot 10^n$ может быть записано по-разному: и как $6.02\cdot10^{23}$, и как $0.602\cdot10^{24}$, и как $602\cdot10^{21}$, и даже парой совсем неудобных способов: $60200000000000\cdot10^{10}$, $0.000000602\cdot10^{30}$. Желательно выбрать из всех таких представлений одно (каноническое). Кажется заманчивым хранить мантиссу в виде обычного целого числа, например хранить число Авогадро в виде $602\cdot10^{21}$. Но это не очень хорошо: в такой записи числа очень неудобно сравнивать: например попробуйте сравнить число Авогадро с числами $6\cdot10^{23}$, $62\cdot10^{22}$, $6021\cdot10^{20}$ или $60199999999999\cdot10^{10}$. Чтобы числа было удобно сравнивать (и ещё по нескольким причинам), используют следующий подход. Положительное число всегда можно домножить на такую степень десятки, чтобы целая часть лежала от 1 до 9. Ровно такое представление и используют для записи, оно называется нормализованным. Итак, каждое ненулевое число может быть представлено в нормализованном виде $\pm \overline{a_0,a_1a_2\ldots a_{13}\ldots}\cdot 10^n$, где $a_0\ne0$. И примерно в этом виде его можно и хранить: знак числа, целая часть, 14 цифр после запятой, знак степени, три цифры степени, в сумме 20 цифр.

Сравнивать числа в такой записи очень просто: например, если числа положительны, то нужно сначала сравнить показатели степени, а в случае, если они равны, сравнить мантиссы.

Кстати, мы ещё пропустили число 0. Его обычно хранят в виде $0\cdot10^0$, тогда для сравнения его с другими числами не потребуется дополнительных ухищрений.

Реальный двоичный мир

Действительные числа в питоне

В питоне для хранения действительных чисел используется тип float.

Если вы хотите считать с клавиатуры действительное число, то результат, возращаемый функцией input() необходимо преобразовывать к типу float:

x = float(input())

Действительные (вещественные) числа представляются в виде чисел с десятичной точкой (а не запятой, как принято при записи десятичных дробей в русский текстах). Для записи очень больших или очень маленьких по модулю чисел используется так называемая запись «с плавающей точкой» (также называемая «научная» запись). В этом случае число представляется в виде некоторой десятичной дроби, называемой мантиссой, умноженной на целочисленную степень десяти (порядок или экспонента). Например, расстояние от Земли до Солнца равно 1.496·10¹¹м, а масса молекулы воды 2.99·10^-23кг.

Числа с плавающей точкой в программах на языке Питон, а также при вводе и выводе записываются в виде мантиссы, затем пишется буква e, затем пишется порядок. Пробелы внутри этой записи не ставятся. Например, указанные выше константы можно записать в виде 1.496e11 и 2.99e-23. Перед самим числом также может стоять знак минус. При этом запись числа при вводе не обязана быть нормализованной, выражение 17900e-2 также корректно.

Напомним, что результатом операции деления / всегда является действительное число, в то время как результатом операции // является целое число.

Преобразование действительных чисел к целому производится с округлением в сторону нуля, то есть int(1.7) == 1, int(-1.7) == -1.

С действительными числами также работает операция целочисленного деления //, однако если хотя бы одно из чисел (числитель или знаменатель) действительное, то результат операции будет целым действительным числом. Если числа x и y положительны, то x//y — это то, сколько раз число y умещается в x. Например, 0.7//0.2=3.0, 17.9//1=17.0. В общем же случае x//y — это такое целое число $q$ (в формате float), что $0 \leq x-y\cdot q < |y|$.

Упражнения

Сниппеты для ускорения набора кода

Наверняка вы уже столкнулись с тем, что одни и те же куски кода повторяются очень часто. Например, int(input()) или float(input()) или for i in range(...):. Если вы используете PyCharm, то ввод этого кода можно здорово ускорить при помощи сниппетов — live templates. На скриншотах ниже последовательность для настройки. После этого можно будет ввести ii и нажать клавишу tab — и вуаля!

live templates в PyCharm

В результате ввод простой программы может выглядеть как-то так:

Не связывайтесь с действительными числами, если ответ нужен точный!

В задачах, связанных с финансами, всегда требуется точный ответ. Нельзя терять копейки. Когда ответ требуется точный, то связываться с действительными числами (типом float) супер-опасно. Чтобы убедиться в этом, проверьте:

>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 == 0.3  # False
>>> 3 * 0.1 == 0.3  # False
>>> int(0.29 * 100) == 29  # False
>>> 0.29 * 100 == 29.0  # False

С точными вычислениями с действительными числами мы ещё встретимся. И разберёмся, почему происходит вот эта вот дичь.

А в следующих двух задачах нужно избежать использования float'ов. И как можно скорее перейти к целым: в данном случае к число секунд в 12 часах или к копейкам.

Впрочем, можете попробовать сначала не прислушиваться к этому совету :)

Библиотека random

В компьютерных программах нередко требуется эмуляция случайности. Но в программировании настоящей случайности нет. Неоткуда взяться произвольному числу, нельзя запрограммировать его появление из ниоткуда. Можно лишь создать программу, которая в результате применения сложной формулы к исходному числу ("зерну") будет выдавать число, и нам будет казаться, что это число случайно. Подобную программу называют генератором псевдослучайных чисел.

Функции, связанные с генерацией случайности, собраны в библиотеку (модуль), которая называется random. Основная функция из этой библиотеки, генерирующая последовательность псевдослучайных чисел, тоже носит название random. При каждом следующем вызове она даёт в ответе новое действительное число на интервале от 0 до 1. Если вызывать эту функцию очень много раз и изображать полученные числа точками на числовой прямой, то эти точки будут равномерно заполнять пространство отрезка (0, 1).

Для использования функции random в начале программы необходимо подключить её из библиотеки, что делается командой

from random import random

После этого функцию random можно вызывать следующим образом (скобки обязательны!):

from random import random
n = 10
for i in rande(n):
    print(random())

Библиотека math

Для проведения вычислений с действительными числами язык Питон содержит много дополнительных функций, собранных в библиотеку (модуль), которая называется math.

Для использования этих функций в начале программы необходимо подключить математическую библиотеку, что делается командой

import math

Функция от одного аргумента вызывается, например, так: math.sqrt(x) (то есть явно указывается, что из модуля math используется функция sqrt (квадратный корень)). Вместо числа x может быть любое число, переменная или выражение. Функция возвращает значение, которое можно вывести на экран, присвоить другой переменной или использовать в выражении:

y = math.sqrt(4)
print(math.sin(math.pi/2))

Другой способ использовать функции из библиотеки math, при котором не нужно будет при каждом использовании функции из модуля math указывать название этого модуля, выглядит так:

from math import sqrt, sin

y = sqrt(x)
print(sin(pi/2))

>>> print(pow(2, 3, 10))
8
>>> from math import *
>>> print(pow(2, 3, 10))
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
TypeError: pow expected 2 arguments, got 3
>>>

import math as mh
y = mh.sqrt(x)
print(mh.sin(mh.pi/2))

Ниже приведен список основных функций модуля math. Более подробное описание этих функций можно найти на сайте с документацией на Питон.

Некоторые из перечисленных функций (int, round, abs) являются стандартными и не требуют подключения модуля math для использования.

Число e, экспонента, логарифм, синусы и косинусы

Выше по тексту участвовали странные, возможно незнакомые слова. Пока нет особой необходимости в них как следует разбираться, они много раз встретятся до 11-го класса, однако вот их общий смысл.

Число $e$, или число Эйлера, — это замечательная математическая константа, у которого существует множество определений. Например, площадь под графиком гиперболы $1/x$ от 1 до $e$ равна в точности 1. Также если численность человечества каждый год увеличивалась в $e$ раз, то в любой момент времени число живых равнялось бы числу когда-либо живших до этого момента. Экспонентой называется степень числа $e$.

Натуральный логарифм — это функция, обратная к экспоненте. Более понятными являются двоичный и десятичный логарифмы: $\log_2a$ — это такое число, что $2^{\log_2a}=a$. Аналогично определяется десятичный логарифм. Заметим, что десятичный логарифм примерно равен числу цифр в записи целой части числа (может отличаться на 1), а двоичный — числу цифр в двоичной записи (тоже может отличаться в пределах 1).

Функции синус, косинус, тангенс и т.д. называются тригонометрическими. Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в нуле, а также положительное число $x$. Возьмём нитку длины $x$, привяжем её к точке $(1,0)$ и намотаем на окружность против часовой стрелки. Абцисса получившейся точки (координата по оси $Ox$) будет равна $\cos(x)$, а ордината — $\sin(x)$.

Баллистическая траектория

Пусть в момент времени 0 снаряд находится в точке с координатами \(x_0\) и \(y_0\) и имеет начальную скорость, компоненты которой вдоль осей равны \(V_{x0}\) и \(V_{y0}\) соответственно. Ускорение свободного падения равно \(g\). Тогда координаты снаряда в момент времени \(t\) можно найти по формулам: $$x_t=x_0+t\cdot V_{x0}$$ $$y_t=y_0+t\cdot V_{y0}-\displaystyle\frac{g\cdot t^2}{2}$$

Эта кривая — парабола, ветви которой направлены вниз, проходящая через начальную точку $(x_0, y_0)$.

Если компоненты скорости вдоль осей равны \(V_{x}\) и \(V_{y}\), то модуль скорости равен $\sqrt{V_{x}^2+V_{y}^2}$, а угол, под которым летит снаряд равен $\text{atan}(V_{y}/V_{x})$ (арктангенс, пишется как arctg, в питоне atan).

Обратно, если снаряд летит со скоростью $V$ под углом $\alpha$, то компоненты скорости вдоль осей равны $V_{x} = V\cdot\cos(\alpha)$ и $V_{y} = V\cdot\sin(\alpha)$.