2026/27, 9КЛ-2, Python: Действительные числа (часть2)

По данному целому числу \(n\le 10^6\) и действительному числу \(x\) вычислите сумму \(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\).

Операцией возведения в степень пользоваться нельзя. Алгоритм должен иметь сложность \(O(n)\).

Этот ряд сходится к \(\cos x\) при росте \(n\) (углы измеряются в радианах).

2
0.1

0.9950041666666667

10
0

1.0

50
3.14159

-0.999999999996479

Даны длины сторон треугольника (три действительных числа). Вычислите площадь треугольника.

3
4
5

6.0

1
1
1

0.4330127018922193

МКАД представляет собой окружность длиной \(l\). Рассмотрим систему координат, центр окружности находится в начале координат. Байкер Вася выезжает из точки пересечения МКАД с положительным направлением оси \(OX\) и едет против часовой стрелки. Определите координаты Васи после того, как он проехал расстояние \(k\).

Программа получает на вход два действительных числа \(l\) и \(k\) и должна вывести два числа — координаты Васи.

6.283185307179586
2.356194490192345

-0.7071067811865475
0.7071067811865476

Вы находитесь в начале координат. В точке с координатами \((x, y)\) находится центр круглой колонны радиусом \(r\). Определите, под каким углом вы видите колонну.

Программа получает на вход три действительных числа \(x\), \(y\) и \(r\) и должна вывести значение угла в градусах. Гарантируется, что начало координат не находится внутри колонны.

2.0
1.0
1.0

53.13010235415598

В условии предыдущей задачи вы хотите окружить колонну верёвкой, концы которой вы держите в руках. Определите минимальную длину верёвки.

Входные данные аналогичны предыдущей задаче, программа должна вывести минимальную длину верёвки.

2.0
1.0
1.0

8.068887871591405

Правильный \(n\)-угольник вписан в окружность радиуса \(r\). Найдите его периметр и площадь.

Программа получает на вход целое число \(n\ge 3\) и действительное \(r \gt 0\).

Программа должна вывести периметр и площадь данного \(n\)-угольника.

4
1.0

5.65685424949238
2.0

Даны произвольные действительные коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\). Решите уравнение \(ax^2+bx+c=0\).

Если данное уравнение не имеет корней, выведите число 0. Если уравнение имеет один корень, выведите число 1, а затем этот корень. Если уравнение имеет два корня, выведите число 2, а затем два корня в порядке возрастания. Если уравнение имеет бесконечно много корней, выведите число 3.

1
-1
-2

2 -1.0 2.0

-1
2
-1

1 1.0

Дан многочлен \(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\) и число \(x\). Вычислите значение этого многочлена, воспользовавшись схемой Горнера:

\[P(x)= \left( ... \left( \left( \left( a_n x + a_{n-1} \right) x + a_{n-2} \right) x + a_{n-3} \right) ... \right) x + a_{0}\]

Сначала программе подается на вход целое неотрицательное число \(n\le20\), затем действительное число \(x\), затем следует \(n+1\) вещественное число — коэффициенты многочлена от старшего к младшему. Программа должна вывести значение многочлена.

При решении этой задачи нельзя использовать массивы и операцию возведения в степень. Программа должна иметь сложность \(O(n)\).

1
0.0
1.0
1.0

1.0

2
0.5
1.0
1.0
1.0

1.75

Даны числа \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\). Известно, что система линейных уравнений

\[\cases{ax + by = e, \cr cx + dy = f.}\]

имеет ровно одно решение. Выведите два числа \(x\) и \(y\), являющиеся решением этой системы.

1
0
0
1
3
3

3.0 3.0

Самолет летит на высоте \(h\) метров со скоростью \(v\) м/с. Ему необходимо поразить бомбой цель. На каком расстоянии \(x\) от цели (в метрах) необходимо выпустить бомбу?

Программа получает на вход вещественные числа \(h\) и \(v\) и должна вывести значение \(x\).

В этой и последующей задачах ускорение свободного падения \(g=9.8\), сопротивлением воздуха пренебречь.

1000
300

4285.714285714285

Пушка стреляет снарядом со скоростью \(v\) м/с под углом \(\alpha\) к горизонту (в радианах). На каком расстоянии \(x\) (в метрах) от пушки упадет снаряд?

Программа получает на вход числа \(v\) и \(\alpha\) и должна вывести значение \(x\).

500
0.2

9934.141385424757

В условиях предыдущей задачи по данной скорости выстрела \(v\) и расстоянию до цели \(x\) определите, под каким углом \(\alpha\) к горизонту (в радианах) необходимо произвести выстрел для поражения цели.

Программа получает на вход числа \(v\) и \(x\) и должна вывести все возможные значения \(\alpha\) в порядке возрастания. Если поразить цель невозможно, программа должна вывести одно число 0.

500
10000

0.2014022918218565
1.36939403497304

100
10000

0

Пушка стреляет снарядом со скоростью \(v\) м/с и должна поразить цель, находящуюся на расстоянии \(x\) метров по горизонтали и на высоте \(y\) метров. Под каким углом \(\alpha\) к горизонту (в радианах) необходимо произвести выстрел?

Программа получает на вход числа \(v\), \(x\), \(y\) и должна вывести все возможные значения \(\alpha\) в порядке возрастания. Если поразить цель невозможно, программа должна вывести одно число 0.

500
10000
100

0.2118388917004956
1.3689571017810664

400
10000
8000

0

Даны числа \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\). Решите систему линейных уравнений

\[\cases{ax + by = e, \cr cx + dy = f.}\]

Вывод программы зависит от вида решения этой системы.

Если система не имеет решений, то программа должна вывести единственное число 0.

Если система имеет бесконечно много решений, каждое из которых имеет вид \(y=kx+b\), то программа должна вывести число 1, а затем значения \(k\) и \(b\).

Если система имеет единственное решение \((x_0,y_0)\), то программа должна вывести число 2, а затем значения \(x_0\) и \(y_0\).

Если система имеет бесконечно много решений вида \(x=x_0\), \(y\) — любое, то программа должна вывести число 3, а затем значение \(x_0\).

Если система имеет бесконечно много решений вида \(y=y_0\), \(x\) — любое, то программа должна вывести число 4, а затем значение \(y_0\).

Если любая пара чисел \((x,y)\) является решением, то программа должна вывести число 5.

Тесты к этой задаче закрытые.

1
0
0
1
3
3

2 3.0 3.0

1
1
2
2
1
2

1 -1.0 1.0

0
2
0
4
1
2

4 0.5